1. Два равносильных игрока играют в игру, ничьи в которой исключаются. Какова вероятность для первого игрока выиграть: а) одну партию из двух? б) две из четырех? в) три из шести?

Ответ: а) ; б) ; в)

3. Отрезок АВ разделен точкой С в отношении 2:1. На этот отрезок наудачу брошены четыре точки. Найти вероятность того, что две из них окажутся левее точки С, а две - правее.

Ответ:

4.Найти вероятность того, что событие А наступит ровно 70 раз в 243 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,25.

Ответ: .

5.Вероятность рождения мальчика равна 0,515. Найти вероятность того, что среди 100 новорожденных мальчиков и девочек окажется поровну.

Ответ: 0,0782

6. Магазин получил 500 бутылок в стеклянной таре. Вероятность того, что при перевозке любая из бутылок окажется разбитой, равна 0,003. Найти вероятность того, что магазин получит разбитых бутылок: а) ровно две; б) менее двух; в) не менее двух; г) хотя бы одну.

Ответ: а) 0,22; б) 0,20; в) 0,80; г) 0,95

7. Автомобильный завод выпускает 80% автомобилей без существенных дефектов. Какова вероятность того, что среди 600 автомобилей, поступивших с завода на автомобильную биржу, окажется не менее 500 автомобилей без существенных дефектов?

Ответ: 0,02.

8. Сколько раз нужно бросить монету, чтобы с вероятностью 0,95 можно было ожидать, что относительная частота появлений герба отклонится от вероятности р =0,5 появления герба при одном бросании монеты не более, чем на 0,02?

Ответ: n ≥ 2401.

9. Вероятность появления события в каждом из 100 независимых событий постоянна и равна p =0,8. Найти вероятность того, что событие появится: а) не менее 75 раз и не более 90 раз; б) не менее 75 раз; в) не более 74 раз.

Ответ: а) , б) , в) .

10. Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0,2. Найти, какое отклонение относительной частоты появления события от его вероятности можно ожидать с вероятностью 0,9128 при 5000 испытаниях.

Ответ:

11. Сколько раз надо бросить монету, чтобы с вероятностью 0,6 можно было ожидать, что отклонение относительной частоты появлений герба от вероятности p =0,5 окажется по абсолютной величине не более 0,01.

Ответ: n = 1764.

12. Вероятность появления события в каждом из 10000 независимых испытаний равна 0,75. Найти вероятность того, что относительная частота появления события отклонится от его вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,01.

Ответ: .

13. Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0,5. Найти число испытаний n , при котором с вероятностью 0,7698 можно ожидать, что относительная частота появления события отклонится от его вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,02.

Определение. Два уравнения f 1 (х) = g 1 (х) и f 2 (х) = g 2 (х) называют­ся равносильными, если множества их корней совпадают.

Например, уравнения х 2 - 9 = 0 и (2 х + 6)( х - 3) = 0 равносильны, так как оба имеют своими корнями числа 3 и -3. Равносильны и урав­нения (3х + 1)-2 = х 2 - + 1 и х 2 + 1 = 0, так как оба не имеют корней, т.е. множества их корней совпадают.

Определение. Замена уравнения равносильным ему уравнением на­зывается равносильным преобразованием.

Выясним теперь, какие преобразования позволяют получать рав­носильные уравнения.

Теорема 1. Пусть уравнение f(х) и g(х) задано на множестве и h (x ) - выражение, определенное на том же множестве. Тогда уравнения f(х) = g(х) (1)и f(х) + h (x ) = g(х) + h (x ) (2) равносильны.

Доказательство. Обозначим через Т 1 - множество решений уравнения (1), а через Т 2 - множество решений уравнения (2). Тогда уравнения (1) и (2) будут равносильны, если Т 1 = Т 2 . Чтобы убедиться в этом, необходимо показать, что любой корень из Т 1 является корнем уравнения (2) и, наоборот, любой корень из Т 2 является корнем урав­нения (1).

Пусть число а - корень уравнения (1). Тогда a ? Т 1 , и при подста­новке в уравнение (1) обращает его в истинное числовое равенство f(a) = g(a) , а выражение h(х) обращает в числовое выражение h (a ), имеющее смысл на множестве X. Прибавим к обеим частям истинно­го равенства f(a) = g(a) числовое выражение h (a ). Получим, согласно свойствам истинных числовых равенств, истинное числовое равенст­во f(a) + h (a ) = g(a) + h (a ), которое свидетельствует о том, что число а является корнем уравнения (2).

Итак, доказано, что каждый корень уравнения (1) является корнем и уравнения (2), т.е. Т 1 с T 2 .

Пусть теперь а - корень уравнения (2). Тогда а ? T 2 и при подста­новке в уравнение (2) обращает его в истинное числовое равенство f(a) + h (a ) = g(a) + h (a ). Прибавим к обеим частям этого равенства чис­ловое выражение -h (a ), Получим истинное числовое равенство f(х) = g(х), которое свидетельствует о том, что число а - корень уравнения (1).

Итак, доказано, что каждый корень уравнения (2) является и кор­нем уравнения (1), т.е. T 2 с Т 1 .

Так как Т 1 с Т 2 и Т 2 с Т 1 , то по определению равных множеств Т 1 = Т 2 , а значит, уравнения (1) и (2) равносильны.

Данную теорему можно сформулировать иначе: если к обеим частям уравнения с областью определения X прибавить одно и то же выраже­ние с переменной, определенное на том же множестве, то получим новое уравнение, равносильное данному.

Из этой теоремы вытекают следствия, которые используются при решении уравнений:

1. Если к обеим частям уравнения прибавить одно и то лее число, то получим уравнение, равносильное данному.

2. Если какое-либо слагаемое (числовое выражение или выражение с переменной) перенести из одной части уравнения в другую, поменяв знак слагаемого на противоположный, то получим уравнение, равносильное данному.

Теорема 2. Пусть уравнение f(х) = g(х) задано на множестве X и h(х) - выражение, которое определено на том же множестве и не об­ращается в нуль ни при каких значениях х из множества X. Тогда уравнения f(х) = g(х) и f(х) · h (x ) = g(х) · h (x ) равносильны.

Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 1.

Теорему 2 можно сформулировать иначе: если обе части уравнения с областью определения X умножить на одно и то же выражение, кото­рое определено на том же множестве и не обращается на нем в нуль, то получим новое уравнение, равносильное данному.

Из этой теоремы вытекает следствие: если обе части уравнения ум­ножить (или разделить) на одно и то же число, отличное от нуля, то получим уравнение, равносильное данному.

Решение уравнений с одной переменной

Решим уравнение 1- x /3 = x /6, x ? R и обоснуем все преобразования, которые мы будем выполнять в процессе решения.

Так как все преобразования, которые мы выполняли, решая данное уравнение, были равносильными, то можно утверждать, что 2 - ко­рень этого уравнения.

Если же в процессе решения уравнения не выполняются условия теорем 1 и 2, то может произойти потеря корней или могут появиться посторонние корни. Поэтому важно, осуществляя преобразования уравнения с целью получения более простого, следить за тем, чтобы они приводили к уравнению, равносильному данному.

Рассмотрим, например, уравнение х(х - 1) = 2х, х ? R . Разделим обе части на х , получим уравнение х - 1 = 2, откуда х = 3, т. е. данное уравнение имеет единственный корень - число 3. Но верно ли это? Не­трудно видеть, что если в данное уравнение вместо переменной х подставить 0, оно обратится в истинное числовое равенство 0·(0 - 1) = 2·0. А это означает, что 0 - корень данного уравнения, который мы поте­ряли, выполняя преобразования. Проанализируем их. Первое, что мы сделали, - это разделили обе части уравнения на х, т.е. умножили на выражение1/x , но при х = О оно не имеет смысла. Следовательно, мы не выполнили условие теоремы 2, что и привело к потере корня.

Чтобы убедиться в том, что множество корней данного уравне­ния состоит из двух чисел 0 и 3, приведем другое его решение. Пере­несем выражение 2х из правой части в левую: х(х - 1) - 2х = 0. Выне­сем в левой части уравнения за скобки х и приведем подобные члены: х(х - 3) = 0. Произведение двух множителей равно нулю в том и толь­ко в том случае, когда хотя бы один из них равен нулю, поэтому x = 0 или х - 3 = 0. Отсюда получаем, что корни данного уравнения - 0 и 3.

В начальном курсе математики теоретической основой решения уравнений является взаимосвязь между компонентами и результатами действий. Например, решение уравнения (х ·9):24 = 3 обосновывается следующим образом. Так как неизвестное находится в делимом, то, чтобы найти делимое, надо делитель умножить на частное: х ·9 = 24·3, или х ·9 = 72.

Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель: х = 72:9, или х = 8, следовательно, корнем данного уравнения является число 8.

Упражнения

1 . Установите, какие из следующих записей являются уравнениями с одной переменной:

а) (х -3)·5 = 12х ; г) 3 + (12-7)· 5 = 16;

б) ( х -3)·5 = 12; д) (х -3)· y =12х ;

в) (х -3)·17 + 12; е) х 2 - 2х + 5 = 0.

2. Уравнение 2 х 4 + 4 х 2 -6 = 0 задано на множестве натуральных чисел. Объясните, почему число 1 является корнем этого уравнения, а 2 и -1 не являются его корнями.

3. В уравнении (х + ...)(2 х + 5) - (х - 3)(2 х + 1) = 20 одно число стерто и заменено точками. Найдите стертое число, если известно, что корнем этого уравнения является число 2.

4. Сформулируйте условия, при которых:

а) число 5 является корнем уравнения f(х) = g(х);

б) число 7 не является корнем уравнения f(х) = g(х) .

5. Установите, какие из следующих пар уравнений равносильны на множестве действительных чисел:

а) 3 + 7 х = -4 и 2(3 + 7л х ) = -8;

6)3 + 7 х = -4 и 6 + 7 х = -1;

в)3 + 7 х = -4 и л х + 2 = 0.

6. Сформулируйте свойства отношения равносильности уравнений. Какие из них используются в процессе решения уравнения?

7. Решите уравнения (все они заданы на множестве действительных чисел) и обоснуйте все преобразования, выполняемые в процессе их упрощения:

a)(7x +4)/2 – x = (3x -5)/2;

б) x –(3x -2)/5 = 3 – (2x -5)/3;

в)(2- х )2- х (х + 1,5) = 4.

8. Учащийся решил уравнение 5 х + 15 = 3 х + 9 следующим образом: вынес за скобки в левой части число 5, а в правой число 3, полу­чил уравнение 5(х + 3) = 3(х + 3), а затем разделил обе части на вы­ражение х + 3. Получил равенство 5 = 3 и сделал вывод – данное уравнение корней не имеет. Прав ли учащийся?

9. Решите уравнение 2/(2-x ) – ½ = 4/((2-x )x ); х ? R . Является ли число 2 корнем этого уравнения?

10. Решите уравнения, используя взаимосвязь между компонентами и результатами действий:

а) (х + 70)·4 = 328; в) (85 х + 765): 170 = 98;

б) 560: (х + 9) - 56; г) (х - 13581):709 = 306.

11. Решите задачи арифметическим и алгебраическим способами:

а) На первой полке на 16 книг больше, чем на второй. Если с каж­дой полки снять по 3 книги, то на первой полке книг будет в полтора раза больше, чем на второй. Сколько книг на каждой полке?

б) Весь путь от турбазы до станции, равный 26 км, велосипедист проехал за 1 ч 10 мин. Первые 40 мин этого времени он ехал с одной скоростью, а остальное время - со скоростью на 3 км/ч меньше. Най­дите скорость велосипедиста на первом участке пути.

Открытый урок по математике "Схема Бернули. Решение задач по схеме Бернули и Лапласа"

Дидактическая: приобретение умений и навыков работы со схемой Бернулли для вычисления вероятностей.

Развивающая: развитие навыков применения знаний на практике, формирование и развитие функционального мышления студентов, развитие навыков сравнения, анализа и синтеза, навыков работы в паре, расширение профессионального лексикона.

Как можно поиграть в эту игру:

Воспитательная: воспитание интереса к предмету через практическое применение теории, достижение сознательного усвоения учебного материала студентов, формирование умения работать в коллективе, правильного использования компьютерных терминов, интереса к науке, уважения к будущей профессии.

Научность знаний: Б

Тип урока: комбинированное занятие:

• закрепление пройденного на предыдущих занятиях материала;
• тематическая, информационно-проблемная технология;
• обобщение и закрепление изученного на данном занятии материала.

Метод обучения: объяснительно – иллюстративный, проблемный.

Контроль знаний: фронтальный опрос, решение задач, презентация.

Материально-техническое оснащение урока. компьютер, мультимедийный проектор.

Методическое обеспечение: справочные материалы, презентация по теме урока, кроссворд.

Ход урока

1. Организационный момент: 5 мин.

(приветствие, готовность группы к занятию).

2. Проверка знаний:

Проверить фронтально по слайдам вопросы: 10 мин.

• определения раздела “Теория вероятностей”
• основное понятие раздела “Теория вероятностей”
• какие события изучает “Теория вероятностей”
• характеристика случайного события
• классическое определение вероятностей

Подведение итогов. 5 мин.

3. Решение задач по рядам: 5 мин.

Задача 1. Бросается игральный кубик. Какова вероятность того, что выпадает четное и меньшее 5 число очков?

Задача 2. В коробке девять одинаковых радиоламп, три из которых были в употреблении. В течение рабочего дня мастеру для ремонта аппаратуры пришлось взять две радиолампы. Какова вероятность того, что обе взятые лампы были в употреблении?

Задача 3. В трех залах кинотеатра идут три различных фильма. Вероятность того, что на определенный час в кассе 1-го зала есть билеты, равна 0,3, в кассе 2-го зала – 0,2, а в кассе 3-го зала – 0,4. Какова вероятность того, что на данный час имеется возможность купить билет хотя бы на один фильм?

4. Проверка у доски способов решения задач. Приложение 1. 5 мин.

5ю Вывод по решению задач:

Вероятность появления события одинаковая для каждой задачи: m и n – const

6. Целеполагание через задачу: 5 мин.

Задача. Два равносильных шахматиста играют в шахматы. Какова вероятность выиграть две партии из четырех?

Какова вероятность выиграть три партии из шести (ничьи во внимание не принимаются)?

Вопрос. Подумайте и назовите, чем отличаются вопросы данной задачи от вопросов предыдущих задач?

Рассуждением, сравнением добиться ответа: в вопросах m и n – разные.

7. Тема урока:

Вычисление вероятности появления события к раз из n опытов при р-const.

Если производятся испытания, при которых вероятность появления события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называют независимыми относительно события А. Испытания, в каждом из которых вероятность появления события одинакова.

Формула Бернулли. Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна p (0

или Приложение 2 формула Бернулли, где k,n-малые числа где q = 1-p

Решение: Играют равносильные шахматисты, поэтому вероятность выигрыша p=1/2; следовательно, вероятность проигрыша q также равна 1/2. Так как во всех партиях вероятность выигрыша постоянна и безразлично, в какой последовательности будут выиграны партии, то применима формула Бернулли. 5 мин

Найдем вероятность того, что две партии из четырех будут выиграны:

Найдем вероятность того, что будут выиграны три партии из шести:

Так как P4 (2)> P6 (3), то вероятнее выиграть две партии из четырех, чем три из шести.

8. Задача.

Найти вероятность того, что событие А наступит ровно 70 раз в 243 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,25.

k=70, n=243 Отсюда следует k и n — большие числа. Значит, по формуле Бернулли считать сложно. Для таких случаев применяется локальная формула Лапласа:

Приложение 3 для положительных значений х приведена в приложении 4 ; для отрицательных значений х пользуются этой же таблицей и = .

9. Составляем алгоритм решения задачи: 5 мин.

• найдем значение х и округляем до сотых (0,01);
• по таблице функции Лапласа найдем;
• подставим значение функции Лапласа в формулу Лапласа

10. Решение задачи с разбором у доски. Приложение 5. 10 мин.

11. Обобщение информации урока через презентации

• краткая информация о разделе “Теория вероятностей”; 5 мин.
• исторические материалы об ученых Бернулли и Лапласе. 5 мин.

Позволяющие переходить от решаемого уравнения к так называемым равносильным уравнениям и уравнениям-следствиям , по решениям которых есть возможность определить решение исходного уравнения. В этой статье мы подробно разберем, какие уравнения называются равносильными, а какие – уравнениями-следствиями, дадим соответствующие определения, приведем поясняющие примеры и объясним, как найти корни уравнения по известным корням равносильного уравнения и уравнения-следствия.

Равносильные уравнения, определение, примеры

Дадим определение равносильных уравнений.

Определение

Равносильные уравнения – это уравнения, имеющие одни и те же корни или не имеющие корней.

Такие же по смыслу определения, но немного отличающиеся по формулировке, приводятся в различных учебниках математики, например,

Определение

Два уравнения f(x)=g(x) и r(x)=s(x) называют равносильными , если они имеют одинаковые корни (или, в частности, если оба уравнения не имеют корней) .

Определение

Уравнения, имеющие одни и те же корни, называют равносильными уравнениями . Уравнения, не имеющие корней, также считают равносильными .

Под одними и теми же корнями понимается следующее: если какое-то число является корнем одного из равносильных уравнений, то оно является и корнем любого другого из этих уравнений, и не одно из равносильных уравнений не может иметь корня, который не является корнем любого другого из этих уравнений.

Приведем примеры равносильных уравнений. Например, три уравнения 4·x=8 , 2·x=4 и x=2 – равносильные. Действительно, каждое из них имеет единственный корень 2 , поэтому они равносильны по определению. Еще пример: равносильными являются два уравнения x·0=0 и 2+x=x+2 , множества их решений совпадают: корнем и первого и второго из них является любое число. Два уравнения x=x+5 и x 4 =−1 также представляют собой пример равносильных уравнений, они оба не имеют действительных решений.

Для полноты картины стоит привести примеры не равносильных уравнений. Например, не равносильны уравнения x=2 и x 2 =4 , так как второе уравнение имеет корень −2 , который не является корнем первого уравнения. Уравнения и также не являются равносильными, так как корнями второго уравнения являются любые числа, а число нуль не является корнем первого уравнения.

Озвученное определение равносильных уравнений относится как к уравнениям с одной переменной, так и к уравнениям с большим числом переменных. Однако для уравнений с двумя, тремя и т.д. переменными слово «корни» в определении нужно заменить словом «решения». Итак,

Определение

Равносильные уравнения – это уравнения, имеющие одни и те же решения, или не имеющие их.

Покажем пример равносильных уравнений с несколькими переменными. x 2 +y 2 +z 2 =0 и 5·x 2 +x 2 ·y 4 ·z 8 =0 - вот пример равносильных уравнений с тремя переменными x , y и z , они оба имеют единственное решение (0, 0, 0) . А вот уравнения с двумя переменными x+y=5 и x·y=1 не являются равносильными, так как, например, пара значений x=2 , y=3 является решением первого уравнения (при подстановке этих значений в первое уравнение получаем верное равенство 2+3=5 ), но не является решением второго (при подстановке этих значений во второе уравнение получаем неверное равенство 2·3=1 ).

Уравнения-следствия

Приведем определения уравнений-следствий из школьных учебников:

Определение

Если каждый корень уравнения f(x)=g(x) является в то же время корнем уравнения p(x)=h(x) , то уравнение p(x)=h(x) называют следствием уравнения f(x)=g(x) .

Определение

Если все корни первого уравнения являются корнями второго уравнения, то второе уравнение называется следствием первого уравнения .

Приведем пару примеров уравнений-следствий. Уравнение x 2 =3 2 является следствием уравнения x−3=0 . Действительно, второе уравнение имеет единственный корень x=3 , этот корень является и корнем уравнения x 2 =3 2 , поэтому по определению уравнение x 2 =3 2 – это следствие уравнения x−3=0 . Другой пример: уравнение (x−2)·(x−3)·(x−4)=0 – это следствие уравнения , так как все корни второго уравнения (их два, это 2 и 3 ), очевидно, являются корнями первого уравнения.

Из определения уравнения-следствия вытекает, что абсолютно любое уравнение является следствием любого уравнения, не имеющего корней.

Стоит привести несколько довольно очевидных следствий из определения равносильных уравнений и определения уравнения-следствия:

• Если два уравнения равносильны, то каждое из них является следствием другого.
• Если каждое из двух уравнений является следствием другого, то эти уравнения равносильны.
• Два уравнения равносильны тогда и только тогда, когда каждое из них является следствием другого.

Определение. Две формулы алгебры логики А и В называются равносильными, если они принимают оди­наковые логические значения на любом наборе значе­ний входящих в формулы элементарных высказыва­ний.

Равносильность формул будем обозначать знаком , а запись A В означает, что формулы A и В рав­носильны.

Например, равносильны формулы:

Формула А называется тождественно истинной (или тавтологией) , если она принимает значение 1 при всех значениях входящих в нее переменных.

Например, тожественно истинны формулы , .

Формула А называется тождественно ложной, если она принимает значение 0 при всех значениях входящих в нее переменных.

Например, тождественно ложна формула .

Ясно, что отношение равносильности рефлексивно, симметрично и транзитивно.

Между понятиями равносильности и эквивалентно­сти существует следующая связь: если формулы А и В равносильны, то формула А В - тавтология, и обрат­но, если формула А В - тавтология, то формулы А и В равносильны.

Важнейшие равносильности алгебры логики можно разбить на три группы.

1. Основные равносильности:

Докажем один из законов поглощения. Рассмотрим формулу . Если в этой формуле а = 1 то, очевидно, и тогда как конъюнк­ция двух истинных высказываний. Пусть теперь вфор­муле А x = 0. Но тогда по определению операции конъ­юнкции будет ложной и конъюнкция . Итак, во всех случаях значения формулы А совпадают со зна­чениями а, а поэтому А x .

2. Равносильности, выражающие одни логические операции через другие:

Ясно, что равносильности 5 и 6 получаются из равносильностей 3 и 4 соответственно, если от обеих частей последних взять отрицания и воспользоваться законом снятия двойного отрицания. Таким образом, в доказатель­стве нуждаются первые четыре равносильности. Докажем две из них: первую и третью.

Так как при одинаковых логических значениях х и у истинными являются формулы , , , то истинной будет и конъюнкция . Сле­довательно, в этом случае обе части равносильности имеют одинаковые истинные значения.

Пусть теперь х и у имеют различные логические значе­ния. Тогда будут ложными эквивалентность и одна из двух импликаций или . То при этом

будет ложной и конъюнкция . Таким образом, в этом случае обе части равносильности имеют одинаковые логические значения.

Рассмотрим равносильность 3. Если х и у принима­ют одновременно истинные значения, то будет истинной конъюнкция х&у и ложным отрицание конъюнкции . В то же время будут ложными и и , а поэто­му будет ложной и дизъюнкция .

Пусть теперь хотя бы одна из переменных х или у принимает значение ложь. Тогда будет ложной конъюн­кция х&у и истинной ее отрицание. В то же время от­рицание хотя бы одной из переменных будет истинным, а поэтому будет истинной и дизъюнкция .

Следовательно, во всех случаях обе части равносиль­ности 3 принимают одинаковые логические значения.

Аналогично доказываются равносильности 2 и 4.

Из равносильностей этой группы следует, что вся­кую формулу алгебры логики можно заменить равно­сильной ей формулой, содержащей только две логичес­кие операции: конъюнкцию и отрицание или дизъюнк­цию и отрицание.

Дальнейшее исключение логических операций не­возможно. Так, если мы будем использовать только конъюнкцию, то уже такая формула как отрицание х не может быть выражена с помощью операции конъ­юнкции.

Однако существуют операции, с помощью которых может быть выражена любая из пяти логических опера­ций, которыми мы пользуемся. Такой операцией являет­ся, например, операция «Штрих Шеффера». Эта опера­ция обозначается символом х|у и определяется следую­щей таблицей истинности:

Очевидно, имеют место равносильности:

2) х&у (х|у)|(х|у).

Из этих двух равносильностей следует, что всякая формула алгебры логики может быть заменена равно­сильной формулой, содержащей только операцию «Штрих Шеффера».

Отметим, что .

Аналогично может быть введена операция .

3. Равносильности, выражающие основные законы алгебры логики:

1. х& у у&х - коммутативность конъюнкции.

2. x у y х - коммутативность дизъюнкции.

3. х& (у& г) (х& у)& z - ассоциативность конъюнк­ции.

4. х (y z) (х у) z- ассоциативность дизъюнк­ции.

5. х& (у z) (х& у) (х&z) - дистрибутивность конъ­юнкции относительно дизъюнкции.

6. х (y&z) (х y)& (x z) - дистрибутивность дизъ­юнкции относительно конъюнкции.

Докажем последний из перечисленных законов. Если х = 1, то будут истинными формулы х (у& z), х у, x z. Но тогда будет истинной и конъюнкция (х y)& (x z). Таким образом, при х = 1 обе части равносильности 6 принимают одинаковые логические значения (истинные).

Пусть теперь х = 0. Тогда х (у& z) y&z, x у у и x z z, а поэтому и конъюнкция х (y&z) y&z . Следовательно, здесь обе части равносильности 6 равно­сильны одной и той же формуле у&z, и поэтому прини­мают одинаковые логические значения.

§ 5. Равносильные преобразования формул

Используя равносильности I, II и III групп можно часть формулы или формулу заменить равносильной ей форму­лой. Такие преобразования формул называются равносиль­ными.

Равносильные преобразования используются для доказательства равносильностей, для приведения формул к заданному виду, для упрощения формул.

Формула А считается проще равносильной ей фор­мулы В, если она содержит меньше букв, меньше ло­гических операций. При этом обычно операции экви­валентность и импликация заменяются операциями дизъюнкции и конъюнкции, а отрицание относят к элементарным высказываниям. Рассмотрим ряд при­меров.

1. Доказать равносильность .

Используя равносильности I, II и III групп

2. Упростить формулу .

Запишем цепочку равносильных формул:

3. Доказать тождественную истинность формулы

Запишем цепочку равносильных формул:

Алгебра Буля

Равносильности III группы говорят о том, что алгебра логики обладает коммутативными и ассоциативными за­конами относительно операций конъюнкции и дизъюнк­ции и дистрибутивным законом конъюнкции относитель­но дизъюнкции, эти же законы имеют место и в алгебре чисел. Поэтому над формулами алгебры логики можно производить те же преобразования, которые проводятся в алгебре чисел (раскрытие скобок, заключение в скобки, вынесение за скобки общего множителя).

Но в алгебре логики возможны и другие преобразова­ния, основанные на использовании равносильностей:

Эта особенность позволяет прийти и к далеко иду­щим обобщениям.

Рассмотрим непустое множество М элементов любой природы {x,y,z,... }, в котором определены отношение «=» (равно) и три операции: «+» (сложение), « » (умно­жение) и «-» (отрицание), подчиняющиеся следующим аксиомам:

Коммутативные законы:

1а. х + у = у + х, 1б. х у = у х.

Ассоциативные законы:

2а. х + (у + г) = (х + у) + z, 2б. х (у z) = (x y) z.

Дистрибутивные законы:

3а. (х + у) z = (х z) + (у г) 3б. (x y) + z = (x + z) (y + z).

Законы идемпотентности:

4а. х + х = х, 4б. х х = х.

Закон двойного отрицания:

Законы де-Моргана:

6а. , 6б. .

Законы поглощения:

7а. х + (у х) = х , 7б. х (у + х) = х.

Такое множество М называется булевой алгеброй.

Если под основными элементами х, у, z, ... подразу­мевать высказывания, под операциями «+», « », «-» дизъюнкцию, конъюнкцию, отрицание соответственно, а знак равенства рассматривать как знак равносильнос­ти, то, как следует из равносильностей I, II и III групп, все аксиомы булевой алгебры выполняются.

В тех случаях, когда для некоторой системы аксиом удается подобрать конкретные объекты и конкретные соотношения между ними так, что все аксиомы выпол­няются, говорят, что найдена интерпретация (или мо­дель) данной системы аксиом.

Значит, алгебра логики является интерпретацией бу­левой алгебры. Алгебра Буля имеет и другие интерпрета­ции. Например, если под основными элементами х, у, z, ... множества М подразумевать множества, под операци­ями «+», « », «-» объединение, пересечение, дополнение соответственно, а под знаком равенства - знак равенства множеств, то мы приходим к алгебре множеств. Нетруд­но убедиться, что в алгебре множеств все аксиомы алгеб­ры Буля выполняются.

Среди различных интерпретаций булевой алгебры имеются интерпретации и технического характера. Одна из них будет рассмотрена ниже. Как будет показано, она играет важную роль в современной автоматике.

Функции алгебры логики

Как уже отмечалось, значение формулы алгебры ло­гики полностью зависит от значений входящих в эту фор­мулу высказываний. Поэтому формула алгебры логики является функцией входящих в нее элементарных выска­зываний.

Например, формула является функцией

трех переменных f(x,y,z). Особенностью этой функции является то обстоятельство, что ее аргументы принима­ют одно из двух значений: ноль или единицу, и при этом функция также принимает одно из двух значений: ноль или единицу.

Определение. Функцией алгебры логики га перемен­ных (или функцией Буля) называется функция га пере­менных, где каждая переменная принимает два значе­ния: 0 и 1, и при этом функция может принимать толь­ко одно из двух значений: 0 или 1.

Ясно, что тождественно истинные и тождественно ложные формулы алгебры логики представляют собой постоянные функции, а две равносильные формулы вы­ражают одну и ту же функцию.

Выясним, каково число функций n переменных. Оче­видно, каждую функцию алгебры логики (как и формулу алгебры логики) можно задать с помощью таблицы ис­тинности, которая будет содержать 2 n строк. Следователь­но, каждая функция n переменных принимает 2 n значе­ний, состоящих из нулей и единиц. Таким образом, фун­кция n переменных полностью определяется набором зна­чений из нулей и единиц длины 2 n .(Общее же число на­боров, состоящих из нулей и единиц, длины 2 n равно . Значит, число различных функций алгебры логики п переменных равно .

В частности, различных функций одной переменной четыре, а различных функций двух переменных шест­надцать. Выпишем все функции алгебры логики одной и двух переменных.

Рассмотрим таблицу истинности для различных функций одной переменной. Она, очевидно, имеет вид:

Из этой таблицы следует, что две функции одной пе­ременной будут постоянными: f 1 (x)= 1, f 4 (x) = 0, а f 2 (x) х, иf 3 (x) .

Таблица истинности для всевозможных функций двух переменных имеет вид:

f i = f i (x,y)

Ясно, что аналитические выражения этих функций могут быть записаны следующим образом.