Многообразие процедур, пригодных для принятия коллективных решений, побуждает задуматься, есть ли среди них такие, которые идеальным образом соответствовали бы достаточно полному набору естественных требований (аксиом). Знакомство с теоремой Мэя и парадоксом Кондорсе заставляет скептически относиться к такой возможности. Генерализованный ответ на обсуждаемый вопрос дает теорема о невозможности , доказанная Кеннетом Эрроу в 1951 г.

Теорема утверждает, что не существует правила коллективного выбора у удовлетворяющего одновременно следующим шести требованиям.

• 1. Полнота. Правило должно обеспечивать выбор между любыми двумя альтернативами, отдавая предпочтение одной из них либо признавая обе равноценными.
• 2. Универсальность. Правило обеспечивает результативный выбор при любом сочетании индивидуальных предпочтений.
• 3. Транзитивность. Для любого набора из трех альтернатив х, у и z, если xRy и yRz, то xRz.
• 4. Единогласие. Если xRy выполняется для любого i, т.е. все участники коллективного выбора отдают предпочтение первой из двух альтернатив, то xRy, иначе говоря, коллективный выбор совершается в пользу первой альтернативы (это не что иное, как выполнение требования Парето-эффективности).
• 5. Независимость от посторонних альтернатив. Коллективный выбор между любыми двумя альтернативами х и у зависит от того, как индивиды оценивают эти две альтернативы по отношению друг к другу, но не зависит от отношения индивидов к какой бы то ни было посторонней альтернативе z (например, будет ли признано xRy, может зависеть, в частности, от того, верно ли, что хR iу , но не от того, справедливо ли, что xRz или что xR izR iy).
• 6. Отсутствие "диктатора ". Среди участников коллективного выбора нет такого индивида, любое предпочтение которого xR iy влекло бы за собой xRy независимо от предпочтений всех других индивидов.

Теорему можно сформулировать и иным образом, введя важное понятие рационального выбора. Выбор является рациональным, если он отвечает требованиям полноты и транзитивности. Рациональность индивидуального выбора – одна из ключевых аксиом микроэкономики.

Коллективный выбор не всегда рационален, как мы убедились, рассматривая парадокс голосования. Теорема Эрроу говорит о том, что не существует правила рационального коллективного выбора, которое было бы универсальным, отвечало бы принципу эффективности по Парето, было бы независимо от посторонних альтернатив и при этом предполагало бы подлинно коллективное решение, не сводящееся к фиксации предпочтений одного индивида.

Приступая к доказательству теоремы, прежде всего введем понятие решающей коалиции голосующих. Решающей коалицией является такая совокупность индивидов, входящих в общее число участников коллективного выбора, что при единогласии внутри этой коалиции позиция ее членов становится результатом коллективного выбора. Иными словами, если для всех членов решающей коалиции xR ty, то xRy. Коалиция может быть решающей только для конкретной пары альтернативных вариантов, тогда она называется решающей коалицией, например, для а против b. В то же время могут существовать коалиции, решающие для любой допустимой пары альтернатив; такие коалиции называют решающими без указания конкретной пары.

Докажем, что, если выполняются шесть перечисленных выше условий, то для произвольной пары альтернатив найдется решающая коалиция, состоящая из одного члена.

Выберем некоторую пару альтернатив х и у . Рассмотрим множество решающих для нее коалиций. Это множество не пусто, поскольку из аксиомы единогласия следует, что по крайней мере вся совокупность голосующих составляет решающую коалицию. Вместе с тем правило, удовлетворяющее шести аксиомам, не может быть правилом единогласного принятия решений, так как последнее не отвечает требованию универсальности. Всего лишь при двух участниках, если и (индексы обозначают номера голосующих), единогласное решение не может быть найдено. Следовательно, если существует правило, отвечающее всем шести требованиям, то найдется решающая коалиция для х против у с числом членов меньшим, чем общее число голосующих.

Выберем наименьшую по числу членов решающую коалицию для х против у и обозначим ее Т. Т включает хотя бы двух индивидов (в противном случае это решающая коалиция для х и у , состоящая только из одного члена). Разделим Т на две подгруппы. Пусть в первую из них (назовем ее D ) входит один голосующий, а во вторую (V) – остальные члены наименьшей решающей коалиции для х против у (их может быть один или больше). Совокупность голосующих, не относящихся к T , обозначим W. Поскольку речь не идет о правиле единогласного принятия решений, W не пусто.

Возьмем любую третью альтернативу z. В силу универсальности найдется такой профиль предпочтений, что:

где – нестрогие предпочтения всех членов подгрупп D, V и W.

Поскольку подгруппы D и V вместе составляют решающую коалицию для х против у, то из (4.1) и (4.2) следует xRy.

В то же время V не является решающей коалицией (иначе она была бы решающей в том числе для х и у). Поскольку х, у и z выбираются произвольно, то V, не будучи решающей коалицией, не окажется решающей и для всех возможных z против у. Следовательно, выбор V между z и у блокируется выбором D и W. Значит, из (4.1) и (4.3) вытекает, что невозможно zRy. Таким образом, получаем yRz.

В силу транзитивности: xRz. Однако согласно (4.2) и (4.3) из всех участников голосования только D может строго предпочитать альтернативу х альтернативе z. Получается, что выбор D, а это один человек, определяет общее решение, несмотря на противостояние всех остальных голосующих. Значит, по крайней мере в отношении альтернатив х и z (а они выбраны произвольно) существует "диктатор".

Докажем теперь, что коалиция D, состоящая из одного члена, является решающей для любой пары альтернатив а и b, если эта коалиция – решающая для некоторой пары x и z.

Теперь W будет обозначать совокупность всех участников коллективного выбора, кроме единственного голосующего D, который выступает в роли решающей коалиции для х против z.

Возьмем любую альтернативу а и рассмотрим ситуацию, когда:

Такие предпочтения найдутся в силу полноты и универсальности.

Поскольку D – решающая коалиция для х против z, то xRz. В силу аксиомы единогласия zRa. Поскольку предпочтения транзитивны, xRa.

Из аксиомы независимости от посторонних альтернатив следует, что, если исключить из (4.4) и (4.5) предпочтения, затрагивающие z, последний вывод не изменится. Таким образом, при и всегда имеет место xRa. Но это означает, что D – решающая коалиция для х против любого а.

Теперь возьмем произвольную альтернативу Ь. Рассмотрим ситуацию, когда:

По аналогии с предыдущим рассуждением, bRa, и, следовательно, D – решающая коалиция для b против а. Между тем в роли b и а могут выступать любые альтернативы. Итак, при рассмотрении всякой пары альтернатив исход коллективного выбора совпадает с выбором, который делает коалиция D, состоящая из одного члена. Теорема доказана.

Теорема о невозможности дает на первый взгляд неожиданный ответ на вопрос о перспективах демократического решения проблем, возникающих в обществе. В действительности этот ответ, с одной стороны, достаточно тесно связан с тем, что обсуждалось нами ранее, а с другой – вовсе не означает бесперспективности всякого демократического устройства политической жизни. Принципиальное значение теоремы Эрроу состоит как раз в том, что она обрисовывает ключевые предпосылки осуществимости (или неосуществимости) рационального демократического выбора.

Обратим внимание, что в числе аксиом, сформулированных в данном параграфе, находятся аксиомы полноты, единогласия и универсальности. Это значит, что условия теоремы допускают выбор между всевозможными Парето-эффективными состояниями при самых разных профилях предпочтений. Однако мы знаем, что такого рода выбор предполагает улучшение положения одних индивидов за счет других. Он влечет за собой непримиримые конфликты, и, как мы видели применительно к правилу простого большинства, провоцирует формирование неустойчивых коалиций. Теорема Эрроу говорит, в частности, о том, что в подобных ситуациях полностью гарантировать устойчивость (транзитивность) выбора удается лишь ценой отказа от его коллективного характера, иначе говоря, за счет появления "диктатора".

На деле ослабить значимость проблемы, о которой идет речь, помогают конституционные ограничения вариантов перераспределения. Это очевидным образом сокращает набор альтернатив, из которых может делаться коллективный выбор, т.е. означает отказ от требования полноты.

Успеху коллективного выбора способствует также формирование сообществ на базе предпочтений, разделяемых всеми членами. Таковы, например, клубы, политические партии и т.д. Применительно к ним незначима аксиома универсальности. Принятие устойчивых коллективных решений в сообществах, члены которых разделяют общие ценности, гораздо более достижимо, чем в произвольных группах индивидов.

Аксиома независимости от посторонних альтернатив тесно связана с отказом от учета интенсивности индивидуальных предпочтений. Уместность такого отказа может показаться весьма сомнительной, и, например, правило Борда отражает интенсивность, а применение этого правила не ведет к циклическому голосованию. Проблема, однако, в том, что одновременный учет интенсивности предпочтений многих индивидов предполагает сравнение и соизмерение присущих каждому из них "шкал" полезности. То же правило Борда, по существу, есть способ суммирования интенсивностей индивидуальных предпочтений.

Между тем межличностная сопоставимость шкал полезности представляет собой весьма сильное предположение. Во всяком случае, сопоставление немыслимо без некоторых допущений об относительной значимости благосостояния разных индивидов для общества. Эти допущения, в принципе, могут основываться на консенсусе, предпочтениях большинства и т.д. Однако в таком случае они сами есть продукты коллективного выбора, а мы обсуждаем здесь его исходные условия. Вместе с тем на практике демократии не обходятся без неких явно или неявно фиксируемых представлений о значимости позиций отдельных индивидов. Например, влияние интенсивности предпочтений по отношению к кандидатам на выборные посты неодинаково сказывается при наличии или отсутствии первичных внутрипартийных выборов (того, что в США называется праймериз). В конечном счете теорема Эрроу позволяет понять, почему при наличии разнонаправленных интересов никакой вариант демократического устройства не гарантирует достижения идеала в сфере общественного выбора. Однако отсутствие демократии означало бы отсутствие коллективного выбора, как такового. Вместе с тем, при полном совпадении интересов граждан государство с его принуждающей силой не требовалось бы. В последующих параграфах этой главы нам предстоит рассмотреть, как реальные интересы действующих индивидов детерминируют политические процессы в условиях демократии.

• Эрроу К. Д. Коллективный выбор и индивидуальные ценности. M.: ИД ГУ ВШЭ, 2004.

Стремление экономистов определить оптимум благосостояния без определения индивидуальных выгод имеет давнюю историю. Теоретики не могли четко разграничить понятия «эффективность» и «справедливость». Это сделал итальянский ученый В. Парето, определив понятие общественного благосостояния. Его концепция оптимального размещения ресурсов основывается на трех допущениях, которые относятся к оценке суждений:
1) каждая личность лучше всего оценивает свое благосостояние;
2) общественное благосостояние определяется благосостоянием отдельных, независимых друг от друга индивидов;
3) благосостояние отдельных личностей нельзя уравнять.
Однако ученый считал, что выводы об экономической политике можно делать только на основе размышлений об эффективности.
В начале 30-х годов ХХ в. американский экономист Абрам Бергсон вывел дискуссию из тупика, предложив оценивать благосостояние с помощью функции общественного благосостояния - множества общественных кривых безразличия, которые ранжируют разные комбинации индивидуальных выгод соответственно системе оценочных суждений о распределении дохода. Однако он не пояснил, кому должны принадлежать такие суждения и как следует учитывать разницу в них. Поэтому концепция общественного благосостояния А. Бергсона несколько оторвана от действительности.
Попытка определить функцию социального благосостояния, учитывая ограничения, отражающие основные этические аксиомы (ценностные установки участников демократического процесса), привела Эрроу к формулировке теоремы невозможности (невозможности демократии).
Автор доказывает, что общество не может найти процедуры принятия непротиворечивых, согласованных решений, если эти решения не отданы на суд одной личности. Это положение иллюстрируется парадоксом голосования - противоречием, которое возникает вследствие того, что голосование на основе принципа большинства не обеспечивает выявление преимуществ общества относительно экономических благ.
К.-Дж. Эрроу сформулировал аксиоматические правила рационального поведения и явно показал, что ни один процесс принятия коллективного решения не отвечает определенным нормам. Согласно теории невозможности Эрроу, не существует демократической социальной функции благосостояния, которая осуществляет связь между индивидуальными преимуществами и общественным выбором - процессом, с помощью которого индивидуальное видение трансформируется в коллективное решение и одновременно отвечает таким требованиям:
1) принцип Парето-оптимальности. Решение не может быть принято, если при этом существует и может быть реализована альтернатива, улучшающая жизнь другим индивидам и никому не ухудшает;
2) переходность. Если социальный выбор А имеет преимущество перед альтернативой Б, а выбор Б - перед альтернативой В, то А лучше, чем В;
3) независимость посторонних альтернатив. Человек выстраивает преимущества независимо от действий, которые на данный момент он не может осуществить;
4) отсутствие диктатора. Среди участников коллективного выбора нет такого индивида, каждое преимущество которого всегда превышает преимущества всех других членов и становится обязательным элементом социального порядка.
К.-Дж. Эрроу доказал, что четыре условия находятся в противоречии. Итак, ни одна социальная схема благосостояния не может отвечать всем требованиям одновременно.
Отмеченные требования являются важной предпосылкой рациональности индивидуального выбора. Но универсального правила рационального коллективного выбора, которое бы отвечало всем требованиям, нет. Анализ правила большинства доказал, что возможна ситуация зацикливания (то есть при определенной структуре индивидуальных преимуществ голосование может продолжаться бесконечно, не приводя к принятию однозначного решения) при последовательном осуществлении выбора тремя лицами, потому что при увеличении числа критериев упорядочивания растет вероятность того, что результаты окажутся зацикленными.
Но аксиома транзитивности предусматривает выбор только одного из трех вариантов. Чтобы процесс общественного выбора не зашел в тупик, нужно найти приемлемую альтернативу. Однако при отмеченных условиях для произвольной пары альтернатив невозможно подобрать такую коалицию, которая складывалась бы более чем из одного индивида. Это означает, что метод осуществления такого выбора будет диктаторским.
Единое правило построения коллективных решений, отвечающее четырем условиям К.-Дж. Эрроу, является диктаторским (коллективное решение всегда должно совпадать с мнением одного из избирателей). Чтобы избежать этого, необходимо смягчение предпосылок. Несмотря на то, что данные постулаты более четкие, чем может показаться на первый взгляд, они все же слабее, чем это необходимо для удовлетворения разумного критерия распределительной справедливости. Поэтому необходимо смягчение аксиом одинаковости или отказ от одной из них. Но такой отказ означает утрату идеалов индивидуализма и гражданского суверенитета.
Поскольку общественный выбор - это совокупность альтернатив, то К.-Дж. Эрроу вводит аксиому транзитивности. Но на практике достижение цели не требует полного внедрения аксиомы транзитивности. Поэтому А.-К. Сен доказал теорему возможности, заменив транзитивность квазитранзитивностью, или транзитивностью четких преимуществ
(он утверждал, что личная свобода должна иметь приоритет над правилом Парето). Квазитразитивность открывает возможность для навязывания обществу власти олигархии (если существуют одинаковые для всех членов олигархической группы преимущества). Преодоление зацикливания заключается в том, что каждый член олигархической группы фактически владеет правом вето. Это означает также, что переход от транзитивности к квазитранзитивности не устраняет диктаторскую власть вообще, а распространяет ее на олигархическую группу.
Требование неограниченного охвата (полноты и универсальности) подобна постулату свободы выбора: каждый индивид волен выбирать, что захочет, то есть сам определяет собственный порядок преимуществ. И хотя многие выступают за свободу выбора, однако следствием такого выбора может быть или конфликт, или зацикливание. Поэтому этот постулат также способствует демократичности принятия решений.
Несколько «ослабил» теорему невозможности В.-С. Викри. Он добавил к условиям К.-Дж. Эрроу пятое условие - ранжирование (берется не весь континуум от первой до наивысшей точки, а определенный промежуток между ними). С помощью ранжирования он получил возможность путем ограничения индивидуального выбора доказать теорему невозможности.
Существует два способа ее доказательства: ограничение всего множества возможных вариантов (например, конституция защищает права собственности) или ограничение состава сотоварищества теми членами общества, чьи преимущества дают возможность осуществить коллективный выбор (например, делегирование полномочий избирателей членам парламента). Это означает, что при представительской демократии к принятию политических решений допускаются лица с более-менее однородными преимуществами. Это резко снижает вероятность зацикливания (чем однороднее преимущества избирателей, тем менее вероятна возможность возникновения цикла).
Теория клубов. Эта теория является частью теории смешанных благ. Клубное благо - это благо, при потреблении которого имеет место исключение, то есть возможность препятствовать его потреблению некоторой группе людей в отличие от общественного блага. Но оно является неконкурентным, т.к. потребление блага одним лицом не снижает потребления того же блага другими лицами и особенности формирования политических партий называют условия, при которых возможно создание однородного сообщества. Принятие прогнозируемых коллективных решений является более вероятным в сообществах, где исповедуют общие ценности, чем в произвольных группах индивидов.
Если отказаться от постулата о независимости альтернатив, то можно получить большое число процедур принятия решений:
а) простое большинство, при котором для принятия решения необходимо 50 процентов голосов участников плюс один голос;
б) относительным большинством голосов считается количество голосов, больше хотя бы на один голос;
в) квалифицированное большинство должно составлять две трети, три четверти или еще больше от всего состава тех, кто принимает решение;
г) постановляющее голосование.
Если число вариантов равно двум (избрание-неизбрание, принятие-непринятие) и число избирателей непарное, то единым правилом, отвечающим всем пяти условиям, является правило простого большинства.
Итак, теорема невозможности доказывает, что нет такого демократического процесса принятия решений, который бы одновременно отвечал всем пяти сформулированным аксиомам. Поэтому выработать только одно правило голосования невозможно. Решение этой проблемы возможно в случае отказа от аксиомы транзитивности или смягчения постулатов независимости, полноты и универсальности.
На основе сформулированных этических норм, а также аксиом, определяющих коллективный выбор, К.-Дж. Эрроу предложил концепцию демократического выбора, направленную на защиту свободной рыночной конкуренции, которая должна поддерживаться государством. Государство, формируя экономическую стратегию, должна учесть интересы всех граждан.
Работы К.-Дж. Эрроу оказались весомым вкладом в теорию оптимальных запасов, анализ стабильности рыночных моделей, математическое программирование и теорию статистических решений. Распространено мнение, что смысл и значение теоремы невозможности Эрроу, а также теории социального выбора до сих пор не осознаны всецело и теория «опережает» их внедрение. Но все-таки предпринимаются попытки использования теории социального выбора в двух сферах. Одна из них - разработка избирательных систем. Компьютеры способны преодолеть существующие барьеры создания оптимальной избирательной системы. Другая сфера - теория демократии, где теория социального выбора способствует переоценке классических утверждений. Используют теорию социального выбора в политической сфере, при анализе рынка труда и торговой политики.
Роль взглядов К.-Дж. Эрроу в современной теории благосостояния существенна:
1. Ученый стремился ликвидировать одно из наиболее очевидных противоречий маржинализма - между постулатом об индивидуальном поведении и математическом моделировании, которое является частью метода. С одной стороны, все западные экономисты - от Маршалла до Самуэльсона - осуществляют математические операции по индивидуальным функциям полезности. С другой - они опираются на аксиому, что человек субъективен в оценке своего благосостояния и выбирает комбинацию определяющих его факторов, которая, по его мнению, обеспечивает максимум полезности. Особенности объекта анализа (индивидуального экономического поведения) делают бессмысленным или одно, или другое.
По мнению К.-Дж. Эрроу, для обновления внутренней логики теории благосостояния необходимо или создать математические модели индивидуального поведения без посылок на субъективные оценки, или вообще отказаться от математических преобразований.
2. К.-Дж. Эрроу пересмотрел позицию экономистов австрийской школы о принципах рационального поведения. Их критерий, который сводится к оптимизации индивидуального благосостояния, отвечал только индивидуальной функции полезности, но оказался недостаточным для индивидуальной функции преимуществ социальных состояний.
Своей теоремой невозможности К.-Дж. Эрроу доказал, что нет общего правила классификации ситуаций на уровне общества, которое не было бы объединено с определенной обоснованной системой индивидуалистских этических ограничений общественной функции благосостояния. Ученый акцентировал, что ограничения порождают противоречия. Он обосновал невозможность формулирования правила, которое было бы приемлемым для всех случаев, и при этом допускалась бы возможность существования какого-либо нормативного положения для подгруппы эмпирически подобранных случаев.

Эрроу математически доказывает, что реальная демократия не может быть полной. //В 1972 году Нобелевскую премию по экономике присудили американскому математику Кеннету Эрроу за исследование «Социальный выбор и индивидуальные ценности». Под таким скромным названием в наш мир вошло сенсационное открытие, положившее конец мечтам об идеальной демократии. Выделив пять непременных условий демократическиx выборов как механизма выявления воли большинства избирателей, Эрроу доказал: в принципе невозможна избирательная система, в которой не нарушалось бы, по крайней мере, одно из этих условий! Это открытие произвело впечатление разорвавшейся бомбы. «Оказывается, лучшие умы человечества занимаются поисками химеры, зиждущейся на внутреннем логическом противоречии исходных принципов, - писал один из тогдашних обозревателей. - Теперь учёные во всем мире пытаются спасти то, что может быть спасено от разрушительного открытия Эрроу, занявшего в математической политологии такое же место, какое занимает в математической логике открытая Куртом Гёделем в 1931 году теорема о невозможности построения непротиворечивой математической теории, содержащей аксиомы арифметики...». Справедливости ради заметим: американец сделал своё открытие не на пустом месте. С дефектами демократической системы выявления воли большинства путём подсчёта голосов столкнулся в XVIII веке маркиз Кондорсе (1743-1794 гг.), философ, математик и политический деятель, казнённый во время Французской революции. Позднее так называемый парадокс Кондорсе переоткрыл на материалах выборов в Оксфордском университете Льюис Кэрролл. В 1940-х годах подобным же наблюдением озадачил политиков английский экономист Л. Блэк, исследовавший эффективность принятия решений во всякого рода комитетах. Открытие Эрроу прояснило вопрос, но не облегчило практические поиски разрешения тупиковых ситуаций. Теперь эксперты гадают, от какого из пяти условий можно отказаться, не развалив существующие системы голосования. Тем временем другие специалисты обращаются к историческому опыту. Ведь народы мира, далекие от понимания математических тонкостей, давно нашли практические пути разрешения тупиковых ситуаций, порождаемых играми в демократию. На место запутавшихся в неувязках парламентариев народы всегда выдвигали диктаторов, которые своей единоличной властью исполняли требования жизни. Но вот вопрос: как приводить к власти такого диктатора? Специалисты по принятию решений (оказывается, на 3ападе есть такие!) рекомендуют диктатора избирать демократическим путём. Но ведь это очередная логическая нелепица! Диктаторов голосованием не избирают. Они приходят сами, но при всенародном одобрении... //КОРНЕЙ АРСЕНЬЕВ, «За семью печатями», N7, 2005 г.

Итак, Теорема невозможности Эрроу //ЭНЦИКЛОПЕДИЯ ТРИЗ Consulting Project// За теоремой Эрроу, доказывающей невозможность демократических выборов без элементов диктатуры, скрываются более сложные проблемы, нежели поиск новой математической модели голосования.

Наткнувшись на «теорему невозможности» К.Дж. Эрроу, невозможно было удержаться от того, чтобы, как выразился один знакомый, не «поточить об неё рога». Суть её в том, что способ голосования может быть избавлен от произвольности, безвыходных положений или неравноправия, но не может избежать этих недостатков одновременно. Самая правильная система выборов в самом демократичном обществе способна привести к ситуации равновесия предпочтений голосующих, которая неразрешима демократическими средствами, а диктаторские недопустимы по определению. Теорема описана и комментируется так, как будто она – краеугольный камень демократии (чтобы читатель не утруждал себя поиском источника – см. Приложение 1). То есть, Эрроу математически доказывает, что реальная демократия не может быть полной.

Но действительно ли идеал демократии сводится к математической модели процедуры голосования, избавленной от произвольности, безвыходных положений и неравноправия? Или это просто красивая теория, не имеющая отношения к реальности? Действительно ли демократия исключает произвол или неравноправие? Увы, не исключает даже теоретически. Например:

1. Не все признаются гражданами.

4. Значимость одних и тех же критериев у разных граждан всегда будет различаться, равно как и осведомлённость о соответствии кандидатов этим критериям. Отсюда следует неравная компетентность избирателей при равном «весе» их голосов.

5. Принципы демократии распространяются лишь на очень небольшую часть общественных отношений даже в самых образцово-показательных государствах, считающихся эталонами демократии, да и то лишь в ограниченное время в особых ситуациях. Во всём остальном предпочтение отдаётся диктатуре, явной или косвенной. Реальная демократия предусматривает не только равные права, но и неравные возможности в большей части областей жизни общества. Американцы, столь ревностно относящиеся к своим демократическим правам, равнодушны к разнице между выборами президента промышленной корпорации и президента «корпорации Америка».

Если разобраться по существу, аксиомы Эрроу есть сами по себе диктаторские правила голосования. Ограничения на число кандидатов и по их квалификации тоже вводятся вполне диктаторски. Как бы демократично не избирали парламент, но законы он будет вводить вполне диктаторски, не спрашивая мнения избирателей. По существу это означает необходимость переосмыслить понятие демократии.

Демократия – это выборы лучшего кандидата на роль руководителя какого-то проекта. Тем самым подразумевается, что в обществе существует определённое неравенство в отношении способностей руководить этим проектом. Возникает вопрос: могут ли те, кто разбирается хуже (прямо скажем, совсем не разбираются, судя по опыту с «кухарками»), выбрать того, кто разбирается лучше? А если не могут, то чего стоит их мнение и зачем вообще нужен выбор? Если граждане различаются по способности оценивать истинные критерии, то они должны различаться и по «весу» своего голоса. Эрроу не рассмотрел эту ситуацию: выбор должен производиться людьми, компетентными в работе, которую предстоит выполнять избранному, а избиратели таковыми не являются по определению. Следовательно, они не в состоянии оценивать по истинным критериям пригодность кандидата. Отсюда следствие: право избирать должно быть уравновешено способностью оценивать. Не зря ведь в самых демократически продвинутых государствах часть категорий граждан не допускается к выборам по ряду причин. Например, дети: они слишком, видите ли, некомпетентны по сравнению со взрослыми (как будто немалая часть тех более компетентна). Да и не существует естественная чёткая граница между имеющими право голосовать и не имеющими. Граница проводится вполне диктаторски, не спрашивая мнения избирателей.

Или вот, скажем, президентом США можно быть лишь два срока, а президентом Федеральной резервной системы США – пять. А ведь несколько слов последнего, оброненных в разговоре, имеют куда более серьёзные последствия.

Ради пущей демократии признано целесообразным существование института пожизненных судей с сугубо диктаторскими полномочиями. В том смысле, чтобы политическая конъюнктура не влияла на их профессионализм. Можно подумать, что те судьи живут на Луне. А разве другие государственные люди не должны проявлять свой профессионализм так же независимо?

Вспомним реликтовую уже форму демократии – непосредственную, типа вече. Она предусматривала равноправие граждан при решении общих для них вопросов (теоретически, по крайней мере). Современная демократия (впрочем, ещё с античных времён) ограничила их равноправие всего одним вопросом: выбором тех, кто эти вопросы будет решать. И, соответственно, одним формальным вопросом: процедурой голосования. Закономерен вопрос: а действительно ли т.н. выборная демократия есть власть народа? Вполне очевидно, что власть принадлежит тем, кому она принадлежит, а народ служит лишь в качестве одного из аргументов в споре претендентов на первые роли.

Но не будем особо заглубляться в политику, хотя обсуждаемая тема сама по себе – сплошная политика. Если рассмотрим проблему по существу, то увидим, что на самом деле теорема Эрроу представляет собой лишь расширенный и усложнённый вариант «буриданова осла» - задачи, которая в абстрактной форме не имеет решения, ибо она и сформулирована так, чтобы не иметь решения: если А=Б, то и Б=А.

Теорема Эрроу отличается лишь тем, что вместо одного осла имеем целое стадо равноправных ослов, а вместо двух стогов – несколько. По условиям игры ослы должны демократически проголосовать, к какому стогу сена идти (а идти должны все вместе). Конечно, вероятность тупика при выборе альтернатив у стада ослов меньше, нежели у одного осла. Но это несущественно, так как имеет значение лишь сама возможность возникновения неопределённости.

Собственно говоря, набор аксиом потребовался математику Эрроу лишь для того, чтобы принудить стадо ослов при оценке альтернатив вести себя как один осёл. То есть, Эрроу тщательно выписал правила, по которым равновесное (критическое) распределение равноправных голосов ослов будет не менее вероятно, чем любое иное. Поэтому вероятность возникновения равновесия между альтернативами сохраняется, как если бы размышлял лишь один осёл, оценивая варианты с разных точек зрения (при равенстве оценок по разным критериям). Эрроу доказал, что выйти из равновесия можно только диктаторскими методами. Иначе говоря: если один осёл будет «несколько более равным», чем другие. Но шестая аксиома воспрещает одному из ослов диктаторски махнуть копытом на демократию и повести за собой стадо к ближайшему к нему стогу (все ослы ведь не могут поместиться в точке), выведя из демократического оцепенения остальных ослов. Или просто пойти туда, куда левая нога захочет.

На самом деле и диктатура сама по себе не есть решение проблемы выбора: что с того, что выбирать между равноценными альтернативами придётся не стаду ослов, а одному ослу, пусть и самому крутому? Один осёл – он сам себе диктатор. Проблема не в голосовании как таковом, а в выборе среди альтернатив, равноценных по какой-то группе критериев .

В реальности живой осёл (как и любое иное живое существо, кроме человека) ни на секунду не замешкается, так как природа встроила в него механизм нарушения равновесия между равными предпочтениями: осёл пойдёт налево. У человека тоже есть такой механизм, но его действие можно увидеть лишь изредка. Например, если человек, оказавшись без компаса в густом тумане, попытается идти прямо, то в действительности он будет идти по дуге.

Указанный выше механизм («диктаторский») у осла и есть способ разрешения парадокса путём выхода за пределы навязываемых им условий.

Почти тоже самое решение предлагал Паркинсон, весьма подробно рассмотревший проблему выбора. В ситуации, когда, по мнению экспертов, ни один из претендентов не обладает перевесом, следует ввести ещё один критерий выбора. Например, спросить у секретарши, какой претендент ей больше нравится. В сущности, так поступает любой человек: столкнувшись с выбором между равноценными альтернативами, он принимается за поиски их признаков, которые можно было бы привлечь в качестве дополнительных критериев оценки и выбора. Но любые дополнительные критерии, используемые после голосования, есть, по Эрроу, проявление диктатуры.

Ситуация хорошо описана в теории катастроф: в критической ситуации (в точке бифуркации) равновесие может нарушить любой незначительный фактор, который в других ситуациях не учитывается. Но Эрроу полагает, что список критериев (факторов) конечен и не может быть произвольно дополнен «после того». Диктатором, естественно. Незначительность дополнительного фактора делает его эквивалентом монетки, используемой для выбора между двумя равноценными альтернативами.

Как всякая теоретическая модель, процедура голосования по Эрроу имеет ограниченное число переменных факторов, при которых она всегда имеет шанс придти к состоянию равновесия. В реальности же число факторов неограниченно и любой эн плюс первый фактор обязательно выведет систему из эн факторов из равновесия. Эрроу посчитал, этот дополнительный фактор обязательно будет диктаторским, во-первых, и что это плохо, во-вторых.

Вряд ли Эрроу не знал, что для разрешения парадокса необходимо выйти за рамки его условий. Вот он 6-й аксиомой и запретил этот выход (из вредности, что ли). Но есть ещё вход: для разрешения парадокса можно прибегнуть к устранению условия его возникновения. В данном случае таковым условием пересмотр пяти его аксиом . Иначе говоря, вполне возможным представляется пересмотр понимания термина «демократия». Вряд ли кто будет спорить с тем, что содержание этого понятия (как и любого иного) со временем меняется.

Всякий специалист ТРИЗ знает, что лучше устранить причину возникновения проблемы, чем бороться с её последствиями, как это предложил Эрроу (другим, естественно). Проще говоря, надо ещё до выборов исключить возникновение патовой ситуации. Такие подходы практикуются не только среди ослов, но и, например, в виде непропорционального представительства в парламенте, когда партия, получившая относительное большинство голосов, получает абсолютное большинство мест. Ещё вариант, совсем не демократический: отстрел, подкуп, шантаж, давление. Но и это не радикальное, тем более – не демократическое, решение: даже в этих условиях возможна патовая ситуация.

Главное в стаде ослов ведь не система подсчёта голосов как таковая. В конце концов, можно придумать кучу приёмов, позволяющих если не избежать, то, хотя бы, выйти из тупикового положения. Например, заимствовав что-то из спорта. В шахматах ничья означает проигрыш претендента и сохранение короны у прежнего чемпиона. Или взять на вооружение яхтенный аналог – гонки с гандикапом. Но это спорт.

В стаде же главное – вовсе не правильный подсчёт очков. В политике, как и в бизнесе, всё решают три фактора: энергия лидера, идея и организация . Можно ли вообще только с помощью сколь угодно изощрённой процедуры подсчёта достаточно достоверно установить наличие этих факторов? И, главное, оценить качество этих факторов?

Если продолжать вполне корректную аналогию с бизнесом, то какой продукт толкают потребителю? И кто потребитель?

Выборы – это тоже бизнес, на котором в роли покупателей выступают финансово-промышленные группы, обладающие определёнными интересами и, главное, деньгами («что хорошо для Дженерал Моторс, то хорошо для Америки»). В роли продавцов – политики и их фирмы (политические партии). Они отвечают за изготовление и поставку товара – организацию (структурирование) электората и преобразование его в голоса. Количество нужных голосов – к.п.д. обработки. Ну, а технология обработки предопределяется характеристиками ослов (сырья). В этом смысле правила подсчёта голосов – это лишь правила прозрачности, корректности подсчёта эффективности политического бизнеса.

Отсюда проблемы демократии, с тревогой отмечаемые большинством европейских социологов: каждый избиратель вынужден думать сам о себе и не иначе. А если каждый думает только о себе, то ничего большого построить не удастся. Люди становятся мелочными. Как недавно заявил некий бизнес-консультант по вопросам телевидения, такие как он, не будут воевать ни за Европу, ни за родную Голландию.

Вспомним 11-е сентября 2002 г. и его последствия в виде существенного ограничения прав и свобод американцев «ради безопасности». Вспомним также высочайший уровень преступности в США. Так вот, лёгкость и скорость, с какой американцы пошли на ограничения своих прав, наводят на мысль, что все эти «демократические ценности» не являются такими уж органично свойственными людям. Свобода и независимость, столь органично присущие двести лет назад американским переселенцам (и основанные, кстати, на наплевательском отношении к таким же правам негров и индейцев), оказались малопригодными для жизни больших, плотных сообществ.

Демократический централизм, изобретённый при социализме, – это, конечно, плохо. Если правящая команда сама определяла, кто пополнит её ряды, и кого из себя выдвинуть, то участие прочего населения было декоративным. Но сейчас парламентарии сами устанавливают правила, по которым новички могут пополнить их ряды и за избирателями остаётся лишь право проголосовать за них. А равное право быть избранным как было, так и осталось фикцией. При достаточной консолидации парламентариев и близких к ним возникает вполне демократически избираемая диктатура. Как Гитлер, например.

Красная революция в Германии и коричневая во Франции после 1-й Мировой войны были подавлены сугубо диктаторскими методами. Зато коричневая революция в Германии была реализована по всем канонам демократических выборов. В сегодняшней Турции голосуют вполне демократически, но если в итоге будут избраны лидеры фундаменталистской ориентации, последует военный переворот, и их сбросят. Демократически выбранный Альенде в Чили вполне диктаторски был убит Пиночетом при поддержке демократичных США.

Конечно, эти соображения не снимают проблемы Эрроу: как быть, если возникла неопределённость? Как быть, если одна половина ослов хочет идти направо, а другая – налево? Но вопрос переносится в иную область: неопределённость эта есть следствие неопределённости с долгосрочными интересами различных финансово-промышленных групп. И, следовательно, проблема в определении этих интересов, зависящих от достоверности прогнозов эволюции страны в целом и, соответственно, разработки средств коррекции неблагоприятных тенденций. Страна одна и поэтому разброс рецептов, равно как и взаимоисключающие рецепты, говорит лишь о некорректности анализа ситуации. Ситуация, знакомая специалистам ТРИЗ по задачам в технической области: неопределённость свидетельствует о низком качестве существующих инструментов решения социальных задач в масштабе государства.

Здесь имеет место не только равенство альтернатив по всем критериям, а и равенство суммарной оценки этих критериев (что, впрочем, не исключает и полного равенства). То есть, голосующим ослам предлагается не идентичные стога как таковые, а выбор направления эволюции стада ослов. Направления эти уже в принципе не могут быть одинаковыми с точки зрения приспособления к грядущим изменениям внешней среды. Скажем, к правому стогу вроде бы движется другое стадо ослов, у левого – наблюдаются некоторые признаки присутствия местного авторитета из семейства кошачьих, а возле среднего поблескивает что-то подозрительно похожее на оптический прицел. Достоинства стогов очевидны, а недостатки – вероятностны и известны рядовым ослам лишь со слов лидеров партий, располагающих всегда неполными разведданными и результатами их анализа. Соответственно, результат голосования и дальнейшая судьба ослов также становятся вероятностными. Иначе говоря, практического смысла демократизм голосования не имеет . Любой вариант хорош, но и чреват. И только если не повезёт, с лидера спросят. Если будет кому и с кого.

Здесь становится очевидной функция выборов как формы обратной связи в гомеостазе социума в условиях неопределённости. Выглядит это как сопоставление прошлого состояния стада с настоящим. И лишь немного – плана и факта. А может ли вообще эта функция быть достаточно эффективной? Если учесть, что ослов объединяет в одно целое лишь общий и поэтому, как правило, простейший фактор, то не может. Особенно в вечевой форме. Парламент не так уж и отличается от вече. Разве что профессионализмом и процедурой. Временной горизонт его видения вперёд – один срок. И опять упираемся в отсутствие инструментов ухода от «метода» проб и ошибок в больших социальных группах, которые, впрочем, плохо наработаны и на уровне малых групп – предприятий (компаний, фирм, корпораций, организаций).

Хороший индикатор неопределённости и, соответственно, качества политических инструментов, это количество партий. Если в государстве существует полсотни партий и десяток фракций (депутатских групп), что хорошего можно сказать об определённости в отношении «вектора развития» такого государства? Правда, и наличие всего одной партии тоже ещё не говорит о том, что она располагает необходимым инструментарием. Думать же, что отсутствие такового можно заменить математическими приёмами, наивно. Или лицемерно. Разве что Эрроу так пошутил. Не случайно же символом демократической партии США выбран именно осёл.

Итак, проблема: теория социума.

Королёв В.А. г. Киев 2004.05.09

Приложение 1

Справка о теореме невозможности Эрроу (Кеннет Джозеф)

Наибольшую известность принесла Эрроу его первая книга «Социальный выбор и индивидуальные ценности» (Social Choise and Individual Values), опубликованная в 1952 году. В ее основу была положена его докторская диссертация. Опираясь на предшествующие работы в этой области П. Самуэльсона и экономиста из Гарварда А. Бергсона, Эрроу пытался сформулировать условия, при которых из индивидуальных предпочтений рациональным или демократическим путем могут быть выведены групповые решения.

Эрроу пришел к выводу, «что социальная функция выбора, выражающая связь между индивидуальными предпочтениями и социальным выбором, должна отвечать четырем требованиям: переходности (если социальный выбор А предпочтительней, чем выбор Б, а выбор Б - чем выбор С, то выбор А предпочтительней, чем выбор С); эффективности по Парето (альтернативное решение не может быть выбрано, если при этом существует другая реализуемая альтернатива, улучшающая жизнь некоторых членов общества и не ухудшающая ничьих условий жизни); отсутствию диктатуры, навязывающей свои предпочтения всему обществу; независимости посторонних альтернатив (выбор между А и Б остается неизменным, если вводится третий, логически допустимый, но неосуществимый вариант С)». Эрроу показал, что все четыре условия внутренне противоречивы и противоречат также друг другу, откуда следовало, что ни одна социальная функция выбора не может соответствовать всем требованиям одновременно. Подробнее об этом написано ниже.

Социальный выбор и индивидуальные ценности.

Кеннет Эрроу начал проводить аксиоматическое исследование рациональных процедур голосования. Он выдвинул пять аксиом, которым должна удовлетворять любая процедура комбинирования или объединения индивидуальных предпочтений, чтобы образовать коллективное суждение, и доказал, что единственные процедуры, которые отвечают всем этим аксиомам, сосредоточивают всю власть в руках одного индивидуума. Нельзя найти метод, удовлетворяющий всем аксиомам Эрроу, который не был бы диктаторским - и не за недостатком изобретательности, а потому что такого не существует. Эта работа была в числе тех, за которые он получил Нобелевскую премию.

В течение последних 30 лет ученые не переставали исследовать аксиомы Эрроу в попытке обойти его «теорему невозможности», стремясь ослабить сформулированные им требования. Эта проблема вызвала широкий интерес, поскольку она тесно связана с ключевыми вопросами экономики, философии, общественных наук.

Перед философами она встает при анализе практического значения утилитаризма - этической доктрины, утверждающей, что правильность действий зависит от их последствий для народного благоденствия, и требующей найти метод для объединения индивидуальных предпочтений.

Ученые, занимающиеся общественными науками, встречают эту проблему при определении или оценке правил голосования для комитетов или законодательных органов.

Экономисты сталкиваются с ней при изучении нормирования и других нерыночных методов распределения ресурсов. Эта задача очень важна при нормативных экономиках, поскольку при определении допустимых границ вмешательства правительства в сферу деятельности свободного рынка решающим является понимание потенциального спектра альтернатив вплоть до полного невмешательства.

Принцип большинства голосов заслуживает, чтобы его рассмотрели в первую очередь среди процедур объединения индивидуальных предпочтений. В числе его достоинств - простота, равноправие и весомость, обусловленная традицией. По существу принцип большинства - это процедура сопоставления пар кандидатов или альтернатив. Однако при сопоставлении более двух альтернатив принцип большинства сталкивается с трудностью, на которую ещё 200 лет назад указал маркиз Кондорсе.

Отмеченная Кондорсе трудность ныне известна под названием «парадокса голосования». Предположим, что комитет, состоящий из Тома, Дика и Гарри, должен расположить в порядке предпочтения трех кандидатов А, Б, С. Том располагает их А, Б, С, Дик - Б, С, А, а Гарри - С, А, Б. Подсчет голосов по принципу большинства для выбора из пар кандидатов приводит к циклу: А побеждает Б, Б побеждает С, а С побеждает А - все двумя голосами против одного. Этот цикл - простейший пример парадокса голосования Кондорсе.

Когда возможно более двух альтернатив, нужен новый принцип для проведения выборов из попарных упорядочений. Конфигурации предпочтений, которые приводят к парадоксу голосования, создают трудность при каждом естественном подходе. Простейший метод состоит в выборе альтернативы, которая не побивалась бы никакой другой. Однако при наличии парадокса голосования такой альтернативы не существует, поскольку каждая альтернатива, или кандидат, проигрывает какой-либо другой.

Второй способ перехода от попарного упорядочения к выборам состоит в определении последовательности, в которой берутся пары альтернатив. Например, последовательность может предусматривать вначале голосование за А или Б, а затем за победившего кандидата или С. При этой последовательности комитет, состоящий из трёх членов, вначале проголосует за А против Б, а на втором этапе С победит А. Легко проверить, что при любой из трех возможных последовательностей в этой ситуации альтернатива, рассмотренная последней, победит: последовательность предопределяет результат. Таким образом, циклы голосования представляют собой трудность не только внешне, но и по существу. Когда случается цикл, выбор окончательного победителя в лучшем случае произволен (если последовательность выбрана произвольным образом), а в худшем случае определяется махинациями того, кто задает последовательность.

Другие возможности для стратегических маневров возникают, когда голосующий может изменить последовательность голосования введением новых альтернатив. Предположим (при том же самом комитете), что С представляет собой статус-кво, а Б - альтернативу, образовавшуюся в результате внесения предложения. При этих двух возможных альтернативах Б победит С, и Гарри (который предпочитает кандидата С кандидату Б) будет разочарован. Однако если он сможет внести поправку А к предложению Б, то А победит Б при первоначальном голосовании, а на втором этапе А проиграет С. Таким образом, Гарри добьётся принятия предпочитаемой им альтернативы.

Даже если нельзя ввести новые альтернативы, а последовательность невозможно изменить, голосующие могут воспользоваться в своих целях неправильным представлением своих предпочтений. Снова рассмотрим последовательность, при которой С берется в последнюю очередь. Если каждый член комитета голосует в соответствии со своим истинным предпочтением при каждом голосовании, выигрывающая альтернатива С стоит на последнем месте среди предпочтений Тома. Предположим, однако, что Том голосует за Б вместо А в первоначальном голосовании, тогда Б побеждает, побивая С на втором этапе. Таким приемом он заблокировал выбор альтернативы, которая ему нравилась меньше всего.

Аксиоматический подход Эрроу.

Циклические коллективные предпочтения являются задачами с произвольными исходными данными и стратегическим поведением. Они возникают либо когда предпочтения порождаются принципом большинства, как в примере выше, либо в какой-нибудь другой процедуре голосования. Таким образом, перед Эрроу встал вопрос: возникают ли противоречивые коллективные предпочтения лишь при принципе большинства и тесно связанных с ним методах или они присущи всем системам голосования? Для ответа на этот вопрос он должен был бы рассмотреть различные процедуры голосования и для каждой из них проверить, не порождают ли какие-нибудь конфигурации индивидуальных упорядочений предпочтений циклы или коллективные предпочтения с какими-нибудь другими неприемлемыми свойствами. Сложность заключалась в том, что ему пришлось бы исследовать огромное количество процедур объединения, сильно различающихся теми ролями, которые в них приписывались отдельным голосующим, и критериями, которые использовались для упорядочения альтернатив.

По необходимости Эрроу вместо этого выбрал аксиоматический подход. Он сформулировал задачу как выбор «конституции», т.е. правила, приписывающего коллективное упорядочение альтернатив каждой конфигурации упорядочений индивидуальных предпочтений. Конституция определяет, является ли альтернатива предпочитаемой, лишней или безразличной по отношению к каждой другой. (Две альтернативы считаются безразличными, если общество рассматривает их как одинаково привлекательные.) Эрроу сузил множество возможных конституций, наложив пять требований, которые (как он утверждал) являются необходимыми свойствами каждого этически приемлемого метода объединения. Затем он охарактеризовал класс конституций, которые удовлетворяют всем пяти свойствам.

Первая аксиома Эрроу.

Универсальность требует, чтобы конституция отражала каждую возможную конфигурацию предпочтений голосующих. Эрроу утверждал, что, поскольку нельзя предсказать все разновидности конфликта, который может возникнуть в ходе действия правила голосования, общество не должно принимать конституции, которая окажется несостоятельной хотя бы при некоторых структурах предпочтений голосующих. Поэтому, как подчеркивал Эрроу, общество должно настаивать на такой конституции, которая была бы достаточно общей, чтобы разрешить все возможные споры.

Вторая аксиома Эрроу.

Это аксиома единогласия. Управляет действием конституции, когда нет согласия между избирателями. Она устанавливает, что для конфигурации предпочтений, при которой каждый индивидуум предпочитает альтернативу А альтернативе Б, коллективное упорядочение должно быть таким же. Если придерживаться точки зрения, при которой считается, что общественное упорядочение должно отражать предпочтения членов этого общества, то трудно спорить с условием единогласия, которое разрешает проблему в случае, который безусловно является простейшим при объединении предпочтений.

Третья аксиома Эрроу.

Независимость требует, чтобы коллективное упорядочение любой пары альтернатив зависело лишь от индивидуальных упорядочений этих двух альтернатив. Как бы не менялись индивидуальные предпочтения других альтернатив, если каждое из индивидуальных упорядочений А и Б остается неизменным, коллективное упорядочение А и Б так же не меняется.

Конституция, удовлетворяющая условию независимости, ограничивает информацию об индивидуальных упорядочениях, требующуюся для определения коллективного упорядочения пары альтернатив. В частности, информация об индивидуальных предпочтениях не представленных альтернатив для коллективного упорядочения рассматриваемых альтернатив; это является большим преимуществом, когда сложно или дорого выявлять индивидуальные упорядочения предпочтений. Без условия независимости конституция должна была бы определять, какие другие альтернативы являются существенными для определения коллективного упорядочения А и Б и как индивидуальные предпочтения для этих альтернатив отражаются на коллективном упорядочении А и Б.

Одна распространенная процедура, упорядочение судейских голосов, нарушает условия независимости. (Эта система обычно используется спортивными отделами газет для определения мест, занятых спортивными командами колледжей, и передачи информации комментаторами по телефону.)

Когда имеются три альтернативы, это правило коллективного выбора приписывает каждому кандидату три балла, если он оказался первым в списке некоторого голосующего, два балла, если он оказался вторым, и один балл, если третьим. Коллективное упорядочение определяется суммированием баллов каждого кандидата и расположением их в порядке суммарных баллов. В комитете, состоящем из трех членов, каждый кандидат получает шесть баллов, и, таким образом, комитет безразличен по отношению к этим трем кандидатам.

Предположим, что свое упорядочение кандидатов Том изменяет с А, Б, С на А, С, Б. Хотя ни один из членов комитета не изменил своего упорядочения А и Б, описываемая процедура теперь коллективное упорядочение А по отношению к Б, поскольку А по-прежнему получает шесть баллов, а Б получает пять баллов.

Четвертую и пятую аксиомы лучше рассмотреть, введя некоторые обозначения.

Р - строгое коллективное предпочтение (аналогичное отношению «больше» между парой действительных чисел).

М - коллективное безразличие (аналогичное равенству).

Н - отношение слабого коллективного предпочтения (аналогичное отношению «больше или равно»).

Таким образом, выражение АнБ означает «А коллективно по меньшей мере так же хорошо, как Б», т.е. либо АрБ, либо АмБ.

Четвертая аксиома Эрроу.

Аксиома полноты: для каждой пары альтернатив А и Б должно выполняться АнБ, либо БнА (либо оба вместе; в этом случае А и Б безразличны). Согласно этой аксиоме, для процедуры объединения требуется упорядочить каждую пару альтернатив. Коль скоро конституция имеет возможность объявить любую пару альтернатив безразличной, полнота является, по-видимому, относительно безобидным требованием.

Пятая аксиома Эрроу (н-транзитивность).

Она требует, чтобы слабое коллективное предпочтение было транзитивно: формально если АнБ и БнС, то АнС. Примеры транзитивных отношений над парами действительных чисел: «больше» (>), «равно» (=) и «больше или равно» (>=). Так, если число А больше, чем Б, и Б больше, чем С, то А должно быть больше, чем С. В экономических исследованиях полнота и н-транзитивность являются условными соглашениями и индивидуумы, чьи предпочтения удовлетворяют этим аксиомам, называются «рациональными». Эрроу расширил это понятие до понятия «коллективная рациональность» для описания конституций, удовлетворяющих аксиомам полноты и н-транзитивности. Он ввел р-транзитивность для обеспечения независимости выбранной альтернативы от последовательности, т.е. пути которым она достигается.

Р-транзитивные конституции - это такие правила голосования, при которых из АрБ и БрС следует АрС. Все такие конституции, удовлетворяющие другим аксиомам Эрроу, нейтральны, т.е. они упорядочивают пары альтернатив по одному и тому же критерию. Нейтральность означает, что если из частной конфигурации упорядочений голосующими альтернатив U и V следует, что U коллективно предпочитается V, то из той же конфигурации упорядочений А и Б следует, что А коллективно предпочитается Б. Описывается доказательство этого факта для двух голосующих. Предположим что для альтернатив U и V Энн преобладает над Биллом при этой конституции, если она U предпочитает V. Альтернативы А и Б они упорядочивают по-разному. Для такой конфигурации по аксиоме единогласия Эрроу АрU, по предложению, что Энн преобладает над U против V, UрV и в силу аксиомы единогласия VрU. При р-транзитивности следует, что АрБ для этой частной конфигурации предпочтения. Аксиома независимости Эрроу, однако, позволяет сделать более общее заключение, чем то, что Энн преобладает для А против Б, независимо от позиций U и V в ее упорядочении или упорядочении Билла. (Аксиома независимости устанавливает, что коллективное упорядочение любой пары альтернатив зависит только от предпочтений голосующих, касающихся этих двух альтернатив.)

Определив и обосновав эту систему пяти желательных свойств, Эрроу доказал, что единственные конституции, удовлетворяющие всем этим свойствам, обладают простым и удивительным недостатком: каждая из них является правилом диктатора. Диктатор - это личность, обладающее властью навязывать обществу свое строгое предпочтение для любой пары альтернатив. Эрроу сформулировал свою теорему в несколько иной форме. Он добавил шестую аксиому, об отсутствии правила диктатора, и доказал, что не существует конституции, которая удовлетворяла бы всем шести аксиомам. По этой причине вывод Эрроу часто называют «теорема невозможности».

Таким образом, составителю процедуры голосования для законодательных органов, комитетов и клубов, который принимает эти условия в качестве необходимых свойств конституции, просто не везет. Внешние скромные требования Эрроу имеют веские и неприятные последствия. Как показывает его теорема невозможности, пять этих свойств очень ограничительны; хотя они и привлекательны по отдельности, в комбинации они пагубны. Теоретики, исследующие процедуры голосования, приложили немало усилий для пересмотра этих аксиом в поисках обходного пути, чтобы избежать неудобных выводов Эрроу.

Вполне оправданным считается довод, что аксиома универсальности слишком претенциозна. Не все логически возможные конфигурации упорядочения предпочтений являются одинаково вероятными. Поскольку некоторые конфигурации могут быть крайне неправдоподобными, требование, чтобы конституция непротиворечиво объединяла все логически возможные конфигурации для получения коллективного упорядочения, по-видимому, чрезмерно сильное. Наиболее распространенная стратегия для ослабления этого требования состояла в том, чтобы, сосредоточившись на какой-нибудь частной процедуре, например, принципе большинства, поискать ограничения, которые исключают те конфигурации предпочтения, из которых следует нетранзитивное коллективное предпочтение. Например, если могут возникнуть лишь те конфигурации предпочтений, в которых нет разногласий между индивидуумами, то аксиома универсальности определяла бы коллективные предпочтения и проблема нетранзитивности не могла бы возникнуть. Хорошо известное нетривиальное ограничение, обнаруженное в 40-е годы английским экономистом Данкэном Блэйком, состоит в том, что выбор производится согласно единственному критерию. В этом случае при любом попарном выборе каждый индивидуум голосует за альтернативу, наиболее близкую к его излюбленной позиции. Например, каждый избиратель может упорядочить кандидатов в соответствии с тем, насколько близко они находятся к его собственной позиции в политическом спектре от либерализма до консерватизма. Таким образом, если кандидат А более либерален, чем Б, а Б либеральнее, чем С, общество с единственным критерием выбора, содержащее либералов (А, Б, С), консерваторов (С, Б, А) и умеренных (Б, А, С или Б, С, А), не должно содержать индивидуумов, для которых средняя альтернатива расположена за двумя крайними (А, С, Б и С, А, Б). Если можно ожидать на практике единственность критерия, то этот случай хорошо подчиняется принципу большинства. Однако обычно избиратели упорядочивают кандидатов в соответствии со многими критериями, и поэтому случай одного критерия не осуществляется.

В более общем случае стратегия наложения ограничений на конституции может быть успешной, только если эти ограничения правдоподобны в смысле теории образования предпочтений или теории предпочтений. Однако специалисты в области общественных наук не преуспели в деле формального моделирования роли социализации в развитии вкусов и системы ценностей, а также степени близости предпочтений, необходимой для социальной стабильности.

Таким образом, несмотря на значительные усилия, еще не сформулированы характеристики возможных способов упорядочения, достаточно широкие, чтобы охватить реальные предпочтения избирателей, и в то же время достаточно узкие, чтобы избежать выводов о правиле диктатора.

Возможность отказаться от аксиомы единогласия не вызвала большого энтузиазма. При практическом пересмотре аксиома единогласия кажется довольно слабым требованием, налагаемым на механизм объединения индивидуальных предпочтений для образования коллективного предпочтения. Роберт Уилсон из Стэнфордского университета показал, что единственная дополнительная конституция, удовлетворяющая всем аксиомам Эрроу, кроме аксиомы единогласия, еще менее привлекательна, чем правило диктатора. В частности, появляются две новые возможности. Первая возможность - это всеобщее безразличие, правило, согласно которому любая пара альтернатив постоянно безразлична относительно того, как индивидуумы их упорядочивают. Вторая возможность - это «диктатура наизнанку», правило, при котором за коллективное упорядочение принимается некоторое обратное упорядочение индивидуальных предпочтений. Этот метод окажется полезным организованному обществу, только если найдется избиратель с безусловно плохим суждением.

Аксиома независимости вызвала на себя сильный огонь критики в первое десятилетие после того, как Эрроу опубликовал свои результаты, но сейчас критика этой аксиомы утихла. Оригинальное обоснование Эрроу этого условия состояло в том, что конституции, удовлетворяющие ей, могут быть приняты без предварительного сбора огромной информации о предпочтениях. Чтобы упорядочить альтернативы А и Б, нет нужды уточнять позицию С в индивидуальных упорядочениях. Конституции, которые нарушают эту аксиому, обычно очень громоздки, по крайней мере, в случае, когда имеется много альтернатив, поскольку надо получить много информации о предпочтениях, чтобы упорядочить даже небольшое число вероятных альтернатив. Кроме того, поскольку на коллективном упорядочении А и Б при конституции, в которой нарушена эта аксиома, отражаются индивидуальные упорядочения третьей альтернативы, часто избиратели могут воздействовать на результаты относительно А и Б посредством неправильного представления своих предпочтений относительно других альтернатив.

«Теоремы невозможности», начало которым положило знаменитое предположение Эрроу, определяют ограничения на общественный выбор правила для коллективного принятия решения. Эти ограничения суровы. Три общепризнанные цели - коллективная рациональность, способность принимать решения и равенство власти - оказываются в непримиримом противоречии. Если общество отказывается от коллективной рациональности, тем самым принимая необходимую произвольность и возможность оказывать влияние на нерациональные процедуры, то, по-видимому, принцип большинства обеспечит выбор, потому что с его помощью можно достичь две другие цели. Если общество настаивает на сохранении некоторой степени коллективной рациональности, оно может достигнуть равенства, приняв правило консенсуса, но только ценой крайней нерешительности. Общество может увеличить способность принимать решения, концентрируя право вето во все более узком кругу индивидуумов; самое решающее правило, правило диктатора, является самым неравным.

Источник: http://expert-39.narod.ru/15.html

Приложение 2

Краткий политический словарь

Аристократия (др.-греч. aristokratia < aristoV наилучший + kratoV могущество, власть) – 1) высший, привилегированный слой общества, богатая или родовитая знать; 2) форма государственного правления, при которой власть принадлежит представителям родовой знати; 3) высшее, привилегированное общественное сословие.

Комментарий. Интересно, если «высшее сословие» формируется по признаку интеллектуального превосходства (как это происходит в США по признаку IQ), которое является необходимым для решения государственных задач, то будет ли оно аристократией? Ведь прочим гражданам заведомо уготована роль лишь голосующих статистов.

Вече – форма государственной власти, отличающаяся непосредственным и регулярным обсуждением и голосованием граждан при принятии общественно-значимых решений.

Демократия (др.-греч. dhmoV народ + kratoV могущество, власть) – 1) форма государственно-политического устройства общества, основанная на признании народа в качестве источника власти; основные принципы Д. – гарантии частной собственности и свободного предпринимательства, равноправие граждан, защищённость их прав и свобод (в т.ч. соблюдение прав меньшинства при власти большинства), верховенство закона, разделение властей, выборность главы государства и представительных органов; в случае непосредственной Д. основные решения принимаются всеми гражданами на собраниях или посредством референдумов; при представительной Д. решения принимаются выборными органами.

Деспотия (др. греч. despoteia) – форма самодержавной, неограниченной власти; отличается произволом власть имущих (сильных) и бесправием подданных (слабых).

Диктатура (лат. dictatura) – 1) в др. Риме полномочия, власть или время властвования диктатора; 2) осуществление власти в государстве недемократическими методами; авторитарный политический режим, например, личная Д. 3) ничем не ограниченная, не стеснённая никакими законами, опирающаяся на силу власть.

Монархия (др.-греч. monarcia единовластие, самодержавие) – государство, главой которого является монарх; различают неограниченную (абсолютную) М. и ограниченную (конституционную) М., при которой власть монарха ограничена парламентом, без согласия которого монарх не имеет права издавать законы и распоряжения общегосударственного характера.

Охлократия (др. греч. ocloV толпа, чернь + kratoV могущество, власть) – в учениях Платона и Аристотеля о государстве – господство, власть толпы.

Плутократия (др. греч. ploutos богатство + kratoV могущество, власть) – государственный строй, при котором политическая власть формально и фактически принадлежит богатой верхушке общества – плутократам.

Референдум (лат. referendum то, что должно быть сообщено) – всенародный опрос, выявление мнения народа путём голосования; производится по особо важным вопросам и иногда служит основой для принятия законов; одна из форм непосредственной демократии, нередко способствующая установлению диктатуры, поскольку большинство граждан далеко не всегда высказывается в соответствии с логикой и здравым смыслом; например, ряд законодательных изменений в конституции Германии Гитлер провёл, опираясь на результаты референдумов.

Тирания (др.-греч. turanniV) – 1) форма государственной власти, возникшая в греч. полисах в VII-VI вв. до н. э. при борьбе родовой знати с демосом; Т. устанавливалась насильственным путём и заключалась в единоличном правлении тиранов; реформы тиранов часто были направлены на улучшение положения демоса, развитие ремесла и торговли; 2) форма политического устройства ряда средневековых городов-государств Северной и Средней Италии (она же – сеньория); 3) любое жестокое, деспотическое правление.

Теорема Эрроу также известна как «Парадокс Эрроу» (англ. Arrow"s paradox) -- теорема о невозможности «коллективного выбора». Смысл этой теоремы состоит в том, что в рамках ординалистского подхода не существует метода объединения индивидуальных предпочтений для трёх и более альтернатив, который удовлетворял бы некоторым вполне справедливым условиям и всегда давал бы логически непротиворечивый результат.

Ординалистский подход основывается на том, что предпочтения индивидуума относительно предлагаемых к выбору альтернатив не могут измеряться количественно, а только качественно, то есть одна альтернатива хуже или лучше другой.

В рамках кардиналистского подхода, предполагающего количественную измеримость предпочтений, теорема Эрроу в общем случае не работает.

Рассмотрим различные формулировки теории:

Формулировка 1951 года

Пусть есть N?2 избирателей, голосующих за n?3 кандидатов. У каждого избирателя есть упорядоченный список альтернатив. Система выборов -- функция, превращающая набор из N таких списков (профиль голосования) в общий упорядоченный список. Система выборов может обладать такими свойствами:

Монотонность - если во всех N списках некоторая альтернатива x останется на месте или поднимется выше, а порядок остальных не изменится, в общем списке x должен остаться на месте или подняться.

Отсутствие диктатора - нет избирателя, предпочтение которого определяло бы результат выборов независимо от предпочтений других избирателей.

Независимость от посторонних альтернатив - если профиль голосования изменится так, что альтернативы x и y во всех N списках останутся в том же порядке, то не изменится их порядок и в окончательном результате.

Формулировка 1963 года

В формулировке 1963 года условия Эрроу таковы: универсальность, отсутствие диктатора, независимость от посторонних альтернатив, принцип единогласия - если у каждого избирателя альтернатива x в списке стоит выше y, это же должно быть и в окончательном результате.

Теорема имеет доказательство. Введем следующие обозначения:

I - предпочтения i-го агента; [?"] - профиль предпочтений (кортеж, элементами которого являются предпочтения всех агентов);

W: Ln > L - функция общественного благосостояния; ?W - коллективные предпочтения.

Обозначим O - множество исходов, которые каждый агент ранжирует в соответствии со своими предпочтениями.

Дадим формальные определения:

Парето-эффективность - W парето-эффективна, если для любых исходов o1, o2 ? O, ?i (o1 ?i o2) ? (o1 ?W o2)

Независимость от посторонних альтернатив - W независима от посторонних альтернатив, если для любых исходов o1, o2 ? O и для любых двух профилей предпочтений [?"] и [?"] ? Ln, ?i (o1 ?i" o2 ? o1 ?i" o2) ? (o1 ?W([?"]) o2 ? o1 ?W([?"]) o2)

Отсутствие диктатора - Считаем, что для W отсутствует диктатор, если не существует такого i, что? o1, o2 ? O (o1 ?i o2 ? o1 ?W o2)

Теорема Эрроу. Если |O| ? 3, то любая Парето эффективная, независящая от посторонних альтернатив функция общественного благосостояния W имеет диктатора. Доказательство проведем в 4 этапа.

Этап 1. Утверждение. Если каждый агент помещает исход b в самый верх или самый низ своего списка предпочтений, то и в?W исход b тоже будет либо вверху, либо внизу списка.

Возьмем произвольный профиль [?] такой, что в нем для всех агентов i исход b расположен либо вверху, либо внизу списка предпочтений?i. Теперь допустим, что наше утверждение неверно, т.е. существуют такие a,c ? O, что a ?W b и b ?W c. Изменим тогда профиль [?] так, чтобы для всех агентов выполнялось c ?i a, не изменяя при этом ранжирования остальных исходов. Обозначим полученный профиль [?"]. Так как после такой модификации исход b для каждого агента все равно останется либо на самой верхней, либо на самой нижней позиции в списке его предпочтений, то из независимости W от посторонних альтернатив можно заключить, что и в новом профиле a ?W b и b ?W c. Следовательно, в силу транзитивности?W получаем a ?W c. Но мы предположили, что для всех агентов c ?i a, тогда в силу парето эффективности должно быть c ?W a. Полученное противоречие доказывает утверждение.

Этап 2. Утверждение. Существует агент, который является центральным в том смысле, что, изменив свой голос, он может переместить исход b из самой нижней позиции в списке?W в самую верхнюю позицию в этом списке. Рассмотрим любой профиль предпочтений, в котором все агенты расположили исход b в самом низу своего списка предпочтений?i. Ясно, что и в?W исход b находится на самой нижней позиции. Пусть все агенты начали по очереди переставлять исход b с самой нижней на самую верхнюю позицию в своих списках предпочтений, не меняя при этом ранжирования остальных исходов. Пусть n (диктатор над всеми парами , не включающими в себя b) - агент, который переставив таким образом b, изменил?W. Обозначим [?1] - профиль предпочтений как раз до того, как n* переместил b, а [?2] - профиль предпочтений сразу же после того, как n* переместил b. Таким образом, в [?2] исход b изменил свою позицию в?W, при этом для всех агентов b находится либо на самой верхней, либо на самой нижней позиции?i. Следовательно, в силу утверждения, доказанного на Этапе 1, в?W исход b занимает самую верхнюю позицию.

Этап 3. Утверждение. Выберем из пары любой элемент. Без потери общности, выберем a. Далее из профиля [?2] построим [?3] следующим образом: в?n* переместим исход a на первую позицию, оставив остальное ранжирование неизменным; произвольным образом для всех остальных агентов поменяем местами друг с другом a и c. Тогда, как и в [?1] получим, что a ?W b (в силу независимости от посторонних альтернатив) и, как и в [?2] получим, что b ?W c. Тогда a ?W c. Теперь построим профиль предпочтений [?4] следующим образом: для всех агентов поместим исход b на произвольную позицию в списке предпочтений?i, для агента n* поместим исход a в произвольную позицию до исхода с. Ясно, что в силу независимости от посторонних альтернатив a ?W c. Мы получили, что все агенты, кроме n* имеют совершенно произвольные профили предпочтений, а результат a ?W c получился исходя только лишь из предположения, что a ?n* c. n* - диктатор над всеми парами .

Этап 4. Утверждение. Рассмотрим какой-нибудь исход с. В силу Этапа 2 существует некоторый центральный агент n** для этого исхода, он же является диктатором для всех пар , где, в частности, A = a, B = b. Но n* и сам может менять ранжирование в?W (это рассматривалось на Этапе 2). Следовательно, можно заключить, что n** совпадает с n*. Доказательство завершено.

Можно заметить, что количество мнений, которые может высказать эксперт, равно n!, где n -- число кандидатов. Если экспертов m, то они могут высказаться (n!)^m способами. Функция обработки каждому из этих вариантов должна сопоставлять коллективное мнение. Поэтому число таких функций есть количество отображений множества из (n!)^m элементов во множество из n! элементов, т.е. равно (n!)^{n!^m}. Из всего этого изобилия теорема Эрроу оставляет нам только m способов, по числу экспертов. Уже при m=n=3 (см. одну из прошлых записей о манипуляции общественным мнением) количество способов обработки равно 6 в степени 216. Вместо этого астрономического 169-значного числа мы остаёмся только с тремя возможностями назначить одного из экспертов диктатором.

Доказательство будет проходить в несколько этапов. Цель -- выявить предполагаемого диктатора. Ключевой идеей является следующая. Пусть A, B -- некоторые кандидаты. Допустим, что одна часть экспертов поставила A выше B, а другая -- В выше A. Допустим, что в коллективном мнении А стоит выше B. Ясно тогда, что диктатор (если он имеется) находится в первой группе. Наш шанс угадать его тем выше, чем меньше по составу первая группа. В идеале хотелось бы иметь такую группу из одного человека, который и являлся бы диктатором. Это приводит к следующему определению.

Пусть X -- некоторая группа экспертов, все представители которой поставили кандидата A выше кандидата B, и пусть все остальные эксперты поступили наоборот. Допустим, что в коллективном мнении A стоит выше B. Тогда группу X назовём решающей коалицией относительно (упорядоченной) пары A, B.

Сделаем несколько замечаний. Данное определение корректно ввиду Принципа Независимости, так как знание порядка следования A и B друг относительно друга в мнении каждого из экспертов однозначно определяет их порядок следования в коллективном мнении. Отметим, что порядок, в котором мы называем кандидатов A, B в общем случае важен (т.е. априори не очевидно, что та же коалиция останется решающей относительно пары B, A). Ясно, что группа из всех экспертов всегда будет решающей относительно любой пары кандидатов ввиду Принципа Единогласия. По этой же причине решающая коалиция не может оказаться пустой, т.е. не содержать ни одного эксперта.

Группу экспертов будем называть просто решающей коалицией , если она является решающей относительно какой-нибудь пары кандидатов. Выберем теперь минимальную решающую коалицию, т.е. такую решающую коалицию M , в которую входит минимально возможное число экспертов. Установим последовательно три факта.

Лемма 1. Коалиция M состоит ровно из одного эксперта d.

Лемма 2. Эксперт d образует решающую коалицию для любой пары.

Лемма 3. Эксперт d -- диктатор.

Докажем Лемму 1. Пусть выбранная коалиция M является решающей относительно кандидатов A, B. В неё входит хотя бы один эксперт d. Рассмотрим три группы экспертов: 1) D ={d} (она состоит только из d), 2) M \ D (все эксперты из M кроме d) и 3) E \ M (все эксперты, не входящие в M ). Поскольку число кандидатов не меньше трёх, мы можем рассмотреть ещё одного кандидата C. Наша задача - показать, что либо коалиция D , либо коалиция M \ D будет также решающей (относительно некоторой пары с участием C). Ввиду минимальности коалиции M , отсюда сразу будет следовать, что M состоит только из d.

Предположим, что эксперты из каждой группы расставили кандидатов в следущем порядке:

1). .... A ..... B ..... C .....

3) ..... B ..... C ..... A .....

В коллективном мнении кандидат A стоит выше кандидата B, так как именно так постановили все эксперты из M (первая и вторая группы), а все остальные эксперты (третья группа) поступили в точности наоборот. Из Принципа Независимости вытекает, что порядок следования кандидатов A, B, C в коллективном мнении однозначно определён. Рассмотрим два случая.

а) Кандидат B стоит выше C в коллективном мнении. Тогда, с учётом того, что A стоит выше B, заключаем, что A стоит выше C. Но кто из экспертов поставил A выше C? Только эксперт d, а все остальные высказали противоположное мнение. Отсюда следует, что коалиция D из одного эксперта d будет решающей для пары A, C. Убедимся, что это на самом деле так. Рассмотрим произвольное голосование, в котором только d поставил в своём мнении A выше C, а остальные поступили наоборот. По Принципу Независимости, в коллективном мнении порядок следования A и C однозначно определён, в каком бы порядке ни были расположены все остальные. Поэтому можно считать без ограничения общности, что кандидат B в мнениях экспертов расположен так, как указано выше. При этом мы уже знаем, что в коллективном мнении A стоит выше C. Поэтому так будет всегда, стоит лишь эксперту d поставить A выше C, а остальным поступить наоборот.

Это рассуждение показывает, что в рамках рассматриваемого случая коалиция D ={d} будет решающей относительно пары A, С. В силу минимальности коалиции M , мы можем сделать вывод, что вторая группа не включает в себя ни одного эксперта, т.е. M совпадает с {d}.

б) Кандидат C стоит выше B в коллективном мнении. Тогда оказывается, что вторая группа образует решающую коалицию относительно пары C, B. Но это очевидным образом противоречит минимальности коалиции M .

Лемма 1 доказана.

Чтобы убедиться в справедливости Леммы 2, заметим, что для любого кандидата C должен иметь место случай а) из предыдущей леммы. Иными словами, эксперт d (наш "кандидат в диктаторы") образует решающую коалицию относительно пары A, C. Из соображений симметрии ясно, что этот же эксперт будет образовывать решающую коалицию и относительно пары C, B. Всё сказанное позволяет заключить, что если d образует решающую коалицию для какой-то пары, то он будет образовывать её для любой пары, в которой один из её элементов (первый или второй) заменён на какой-либо другой. Но от любой пары к любой можно при помощи таких замен перейти максимум за три шага -- наибольшего числа шагов требует переход от (A,B) к (B,A). Этот процесс напоминает известную игру по превращению слова МУХА в слово СЛОН при помощи замены букв, только в данной ситуации всё намного проще.

Итак, мы приходим к выводу, что {d} -- решающая коалиция для любой пары. Тем самым доказана Лемма 2, но это ещё не даёт возможности заключить, что d -- диктатор.

В самом деле, каковы бы ни были кандидаты A, B, мы пока не можем гарантировать, что предпочтение одного из них другому экспертом d немедленно повлечёт за собой, что именно в таком порядке эти кандидаты будут располагаться в коллективном мнении -- ведь нам ещё требуется, чтобы все остальные эксперты высказались наоборот. Покажем, что мнение эксперта d относительно порядка следования A, B всегда будет достаточным для того, чтобы и в коллективном мнении было так же. В этом состоит содержание Леммы 3, утверждающей, что d -- диктатор.

Итак, вновь разобьём всех экспертов на три группы: пусть первая группа состоит только из d, который поставил A выше B; во вторую группу пусть войдут те, кто высказался так же про этих кандидатов, а в третьей группе пусть будут все эксперты, поставившие B выше A (вторая или третья группа могут оказаться пустыми). Как и ранее, рассмотрим кандидата C, отличного от A и B. Рассмотрим такое голосование, при котором только d поставил A выше C, и все эксперты поставили C выше B:

1). .... A ..... C ..... B .....
2) ..... C ..... A ..... B .....
3) ..... C ..... B ..... A .....

Тогда в коллективном мнении A стоит выше C в силу того, что {d} -- решающая коалиция относительно A, C. По Принципу Единогласия, С в коллективном мнении опережает B. Следовательно, A в коллективном мнении расположен выше B, и для этого оказалось достаточным, чтобы так их расположил эксперт d.

Итак, d на самом деле является диктатором. Лемма 3 доказана, и вместе с ней доказана теорема Эрроу.