Федеральное агентство по образованию

Филиал государственного образовательного

высшего профессионального учреждения

«Глазовский государственный педагогический институт

имени В.Г. Короленко»

г. Ижевска

РЕФЕРАТ

Из истории развития математических понятий

Выполнила студентка

4 курса ГГПИП и МДД

Проверил

Ижевск, 2010

История развития математики – это не только история развития математических идей, понятий и направлений, но это и история взаимосвязи математики с человеческой деятельностью, социально-экономическими условиями различных эпох.

Становление и развитие математики как науки, возникновение ее новых разделов тесно связано с развитием потребностей общества в измерениях, контроле, особенно в областях аграрной, промышленной и налогообложения. Первые области применения математики были связаны с созерцанием звезд и земледелием. Изучение звездного неба позволило проложить торговые морские пути, караванные дороги в новые районы и резко увеличить эффект торговли между государствами. Обмен товарами приводил к обмену культурными ценностями, к развитию толерантности как явления, лежащего в основе мирного сосуществования различных рас и народов. Понятие числа всегда сопровождалось и нечисловыми понятиями. Например, один, два, много… Эти нечисловые понятия всегда ограждали сферу математики. Математика придавала законченный вид всем наукам, где она применялась.

§ 2. Развитие счетной деятельности

Самой древней математической деятельностью был счет. Счет был необходим, чтобы следить за поголовьем скота и вести торговлю. Некоторые первобытные племена подсчитывали количество предметов, сопоставляя им различные части тела, главным образом пальцы рук и ног. Наскальный рисунок, сохранившийся до наших времен от каменного века, изображает число 35 в виде серии выстроенных в ряд 35 палочек-пальцев. Первыми существенными успехами в арифметике стали концептуализация числа и изобретение четырех основных действий: сложения, вычитания, умножения и деления. Первые достижения геометрии связаны с такими простыми понятиями, как прямая и окружность. Дальнейшее развитие математики началось примерно в 3000 до н.э. благодаря вавилонянам и египтянам.

Греческая система счисления была основана на использовании букв алфавита. Аттическая система, бывшая в ходу с 6–3 вв. до н.э., использовала для обозначения единицы вертикальную черту, а для обозначения чисел 5, 10, 100, 1000 и 10 000 начальные буквы их греческих названий. В более поздней ионической системе счисления для обозначения чисел использовались 24 буквы греческого алфавита и три архаические буквы. Кратные 1000 до 9000 обозначались так же, как первые девять целых чисел от 1 до 9, но перед каждой буквой ставилась вертикальная черта. Десятки тысяч обозначались буквой М (от греческого мириои – 10 000), после которой ставилось то число, на которое нужно было умножить десять тысяч

Дедуктивный характер греческой математики полностью сформировался ко времени Платона и Аристотеля. Изобретение дедуктивной математики принято приписывать Фалесу Милетскому (ок. 640–546 до н.э.), который, как и многие древнегреческие математики классического периода, был также философом. Высказывалось предположение, что Фалес использовал дедукцию для доказательства некоторых результатов в геометрии, хотя это сомнительно.

Другим великим греком, с чьим именем связывают развитие математики, был Пифагор (ок. 585–500 до н.э.). Полагают, что он мог познакомиться с вавилонской и египетской математикой во время своих долгих странствий. Пифагор основал движение, расцвет которого приходится на период ок. 550–300 до н.э. Пифагорейцы создали чистую математику в форме теории чисел и геометрии. Целые числа они представляли в виде конфигураций из точек или камешков, классифицируя эти числа в соответствии с формой возникающих фигур («фигурные числа»). Слово «калькуляция» (расчет, вычисление) берет начало от греческого слова, означающего «камешек». Числа 3, 6, 10 и т.д. пифагорейцы называли треугольными, так как соответствующее число камешков можно расположить в виде треугольника, числа 4, 9, 16 и т.д. – квадратными, так как соответствующее число камешков можно расположить в виде квадрата, и т.д.

Из простых геометрических конфигураций возникали некоторые свойства целых чисел. Например, пифагорейцы обнаружили, что сумма двух последовательных треугольных чисел всегда равна некоторому квадратному числу. Они открыли, что если (в современных обозначениях) n2 – квадратное число, то n2 + 2n +1 = (n + 1)2. Число, равное сумме всех своих собственных делителей, кроме самого этого числа, пифагорейцы называли совершенным.

§3. Развитие письменной нумерации

Из дошедших до нас математических документов Востока можно заключить, что в Древнем Египте были сильны развиты отрасли математики, связанные с решением экономических задач. Папирус Райнда (ок. 2000 г. до н.э.) начинался с обещания научить "совершенному и основательному исследованию всех вещей, пониманию их сущностей, познанию всех тайн".

Египтяне пользовались двумя системами письма. Одна – иероглифическая – встречается на памятниках и могильных плитах, каждый символ изображает какой-нибудь предмет. В другой системе – иератической – использовались условные знаки, которые произошли из иероглифов в результате упрощений и стилизаций. Именно эта система чаще встречается на папирусах.

§4. Как научились измерять разные величины

Греки в течение одного-двух столетия сумели овладеть математическим наследием предшественников, но они не довольствовались усвоением знаний; греки создали абстрактную и дедуктивную математику. Они были, прежде всего, геометрами, имена которых и даже сочинения дошли до нас. Это Фалес Милетский, школа Пифагора, Гиппократ Хиоский, Демокрит, Евдокс, Аристотель, Евклид, Архимед, Аполоний.

Главной заслугой пифагорейцев в области науки является существенное развитие математики, как по содержанию, так и по форме. По содержанию - открытие новых математических фактов. По форме - построение геометрии и арифметики как теоретических, доказательных наук, изучающих свойства отвлеченных понятий о числах и геометрических формах.

Пифагорейцы развили и обосновали планиметрию прямолинейных фигур: учение о параллельных линиях, треугольниках, четырехугольниках, правильных многоугольниках. Получила развитие элементарная теория окружности и круга.

Наличие у пифагорейцев учения о параллельных линиях говорит о том, что они владели методом доказательства от противного и впервые доказали теорему о сумме углов треугольника. Вершиной достижений пифагорейцев в планиметрии является доказательство теоремы Пифагора.

Математика развивалась главным образом в растущих торговых городах. Горожан интересовал счет, арифметика, вычисления. Типичен для этого периода Иоганн Мюллер, ведущая математическая фигура 15-го столетия. Он перевел Птолемея, Герона, Архимеда. Он положил много труда на вычисление тригонометрических таблиц, составил таблицу синусов с интервалом в одну минуту. Значения синусов рассматривались как отрезки, представлявшие полухорды соответствующих углов в круге, поэтому они зависели от длины радиуса.

Развитие анализа получило мощный импульс, когда была написана «Геометрия» Декарта. Она включила в алгебру всю область классической геометрии. Декарт создал аналитическую геометрию. Ферма и Паскаль стали основателями математической теории вероятностей. Постепенное формирование интереса к задачам, связанным с вероятностями, происходило прежде всего под влиянием страхового дела.

В XVII в. начинается новый период истории математики – период математики переменных величин. Его возникновение связано, прежде всего, с успехами астрономии и механики.

Первым решительным шагом в создании математики переменных величин было появление книги Декарта «Геометрия». Основными заслугами Декарта перед математикой являются введение им переменной величины и создание аналитической геометрии. Прежде всего, его интересовала геометрия движения, и, применив к исследованию объектов алгебраические методы, он стал создателем аналитической геометрии.

Аналитическая геометрия начиналась с введения системы координат. В честь создателя прямоугольная система координат, состоящая из двух пересекающихся под прямым углом осей, введенных на них масштабов измерения и начала отсчета – точки пересечения этих осей – называется системой координат на плоскости. В совокупности с третьей осью она является прямоугольной декартовой системой координат в пространстве.

К 60-м годам XVII в. были разработаны многочисленные метолы для вычисления площадей, ограниченных различными кривыми линиями. Нужен был только один толчок, чтобы из разрозненных приемов создать единое интегральное исчисление.

Дифференциальные методы решали основную задачу: зная кривую линию, найти ее касательные. Многие задачи практики приводили к постановке обратной задачи. В процессе решения задачи выяснялось, что к ней применимы интеграционные методы. Так была установлена глубокая связь между дифференциальными и интегральными методами, что создало основу для единого исчисления. Наиболее ранней формой дифференциального и интегрального исчисления является теория флюксий, построенная Ньютоном.

В XVIII в. из математического анализа выделился ряд важных математических дисциплин: теория дифференциальных уравнений, вариационное исчисление.

§5. Системы счисления, виды систем счисления

Систе́ма счисле́ния - символический метод записи чисел, представление чисел с помощью письменных знаков.

Система счисления:

даёт представления множества чисел (целых или вещественных)

даёт каждому числу уникальное представление (или, по крайней мере, стандартное представление)

отражает алгебраическую и арифметическую структуру чисел.

Наиболее употребляемыми в настоящее время позиционными системами являются:

1 - единичная (как позиционная может и не рассматриваться; счёт на пальцах, зарубки, узелки «на память» и др.);

2 - двоичная (в дискретной математике, информатике, программировании);

3 - троичная;

4 - четверичная;

5 - пятеричная;

8 - восьмеричная;

10 - десятичная (используется повсеместно);

12 - двенадцатеричная (счёт дюжинами);

16 - шестнадцатеричная (используется в программировании, информатике, а также в шрифтах);

60 - шестидесятеричная (единицы измерения времени, измерение углов и, в частности, координат, долготы и широты).

Двоичная система счисления - это позиционная система счисления с основанием 2. В этой системе счисления числа записываются с помощью двух символов (1 и 0).

Иероглифическая система счисления имеет основание 10 и не является позиционной: для обозначения чисел 1, 10, 100 и т.д. в ней используется разные символы, каждый символ повторяется определенное число раз, и, чтобы прочитать число, нужно просуммировать значения всех символов, входящих в его запись. Таким образом, их порядок не играет роли, и они записываются либо горизонтально, либо вертикально.

Иератическая система счисления также десятичная, но специальные дополнительные символы помогают избежать повторения, принятого в иероглифической системе.

Математика Вавилона, как и египетская, была вызвана к жизни потребностями производственной деятельности, поскольку решались задачи, связанные с нуждами орошения, строительства, хозяйственного учета, отношениями собственности, исчислением времени. Сохранившееся документы показывают, что, основываясь на 60-ричной системе счисления, вавилоняне могли выполнять четыре арифметических действия, имелись таблицы квадратных корней, кубов кубических корней, сумм квадратов и кубов, степеней данного числа, были известны правила суммирования прогрессий. Замечательные результаты были получены в области числовой алгебры. Решение задач проводилось по плану, задачи сводились к единому «нормальному» виду и затем решались по общим правилам. Встречались задачи, сводящиеся к решению уравнений третьей степени и особых видов уравнений четвертой, пятой и шестой степеней.

Вавилонская система счисления является комбинацией шестидесятеричной и десятичной систем с применением позиционного принципа; в ней используются всего два разных символа: один обозначает единицу, второй – число 10; все числа записываются при помощи этих двух символов с учетом позиционного принципа. В самых древних текстах (около 1700 г. до н.э.) не встречается никакого символа для обозначения нуля; таким образом, численное значение, которое придавалось символу, зависело от условий задачи, и один и тот же символ мог обозначать 1, 60, 3600 или даже 1/60, 1/3600

Список использованной литературы

Двоичная система счисления. - Электронный режим доступа: http://ru.wikipedia.org/wiki/

Лаптев Б.Л.. Н.И.Лобачевский и его геометрия. -М.: Просвещение, 1976.

Рыбников К.А.. История математики.- М.: Наука, 1994.

Самарский А.А.. Математическое моделирование. -М.: Наука, 1986.

Столл Р.Р.. Множество, Логика, Аксиоматическая теория. -М.: Просвещение, 1968.

Стройк Д.Я.. Краткий очерк истории математики.- М.: Наука, Физматлит, 1990.

Тихонов А.Н., Костомаров Д.П.. Рассказы о прикладной математике. -М.: Вита-Пресс, 1996.

Юшкевич А.П.. Математика в ее истории. -М.: Наука, 1996.

1. 1. Объем и содержание понятия . Определение понятия

   Реферат >> Математика

   Натуральными. Понятие натурального числа является одним из основных математических понятий . Возникло оно из потребности практической... Числа - вот с чего начиналась история величайшей из наук". Числа стали не только...

2. История науки и проблема ее рациональной реконструкции

   Статья >> Философия

   В свете сказанного можно уточнить понятие "открытие" и противопоставить ему... реальной науке. Вернемся к эпизоду из истории палеогеографии. Мы подчеркивали, что... и коперниковой" и "Беседы и математические доказательства, касающиеся двух новых отраслей...

3. История политических и правовых учений (11)

   Реферат >> Государство и право

   Свою историю (история основных школ и направлений в теории уголовного права, история понятия ... наблюдениям над конкретными фактами из истории возникновения различных видов... матерью всех естественных наук”.

Я все время ношу наручные часы и чувствую себя очень не уютно, когда не могу посмотртеть время. Контролирую когда и куда надо прийти, что сделать. Сколько уже затрачено на какой то процесс времени. Хоть и есть такая поговорка, что счастливые часов не наблюдают, но даже во время отдыха постоянно с часами.

А как в старые времена люди обходились без точного контроля времени? А ведь и тогда люди могли достаточно точно определять время, лишь с небольшой погрешностью.

Гномон - солнце светит, время известно

До того, как механические часы получили широкое распространение, время определяли при помощи солнечных часов. Это устройство имело три детали: гномон, то есть элемент, отбрасывающий тень, циферблат, на которой эта тень попадает, и еще одна, условная деталь - непосредственно солнышко, которое и «заводит» эти самые часы.

На циферблат нанесены линии, а гномон имеет величину и форму, для расчёта которой используются географические координаты. То есть каждые солнечные часы создаются для определённой местности. Их изготовление - кропотливый и сложный процесс, требующий знаний, умений. Потому такие устройства стоили недешево.

На Руси поступали проще: наши предки просто вкапывали в землю высокий шест, который и отбрасывал тень. Наблюдая за величиной тени, можно было определить время. Конечно, это не был идеальный способ. Но сравнивая длины тени, например в полдень, в вечернее время или на рассвете, а также замеряя ее в разное время года, наши предки составляли достаточно чёткий определитель времени.

Всё бы было хорошо, если бы на Руси постоянно светило солнышко. К сожалению, это из области фантастики - дожди, облачность и прочая непогода здесь очень часта. Если добавить особенность северных районов, где солнце не поднимается слишком высоко над горизонтом, отчего и теневые показатели гномона имеют очень большую длину, получается, что солнечные часы нельзя было рассматривать как единственный, точный, круглогодичный вариант.

У нас в Белгороде тоже на улице есть огромные солнечные часы. Как то проходя мимо сравнил со своими наручными - точно показывают солнечные! Вот ведь! буквально до минуты.

Клепсидры, которые крадут воду

Вид часов, которые не зависят от солнечного света - водяные. Называются они клепсидра. Если разобрать это слово на части, а состоит оно из klepto - скрывать и hydor - вода, то понятно, что в переводе с греческого но означает не что иное, как «похититель воды». Простейшая клепсидра представляет собой два сосуда, установленных на различных уровнях. В верхнем есть отверстие, через которое вода по капле попадает в нижний. Время определяли при помощи наблюдения за тем, как понижается уровень воды в верхнем сосуде, либо - как поднимается в нижнем. Есть версия, что отсюда произошло выражение «течение времени».

Клепсидра

Поскольку на скорость движения воды влияет давление в сосуде, то ёмкость стали делать в виде усеченного конуса. По строению клепсидра имеет преимущество перед солнечными часами, поскольку система сообщающихся сосудов может быть доведена до совершенства. Их можно использовать в любое время суток, они определяют время более точно.

Современные водяные часы.

Но использовать их можно только в том случае, когда вода находится в жидком состоянии. Увы, на Руси часто бывают морозы, и она могла просто замерзнуть. Широкого распространения среди населения такие конструкции не нашли, использовались они в основном при проведении церковных обрядов и назывались при этом «гидрология».

Петухи, жаворонки и цветочки для бедноты

Часы на Руси долгое время были предметом роскоши. Простые люди использовали свои собственные методы, позволяющие обходиться без сложных механизмов. Наши предки были наблюдательны, природные процессы не были для них тайной.

Например, птицы. Понятно, что будильником в стародавние времена (да во многих деревнях и поныне) был петух, которой кукарекал три раза за ночь: в первый раз после полуночи, затем в два часа пополуночи, и в последний раз рано утром, примерно в начале пятого. Иволга, жаворонок, воробей - эти птахи тоже просыпались и начинали свои песнопения в определенное время. Надо было лишь понаблюдать, прислушаться к советам стариков и запомнить время.

Как известно, жaвoрoнки нaчинaют пeть в 2 чaсa нoчи, ивoлгa в 3 чaсa, a вoрoбьи прoсыпaются лишь в 6 чaсoв yтрa. Главными же "часами" в старину был петух. Первый раз петухи кричат в первом часу ночи, второй раз — в 2 часа ночи, третий раз — в пятом часу утра.

Крестьяне вели наблюдение за цветами, поскольку те, повернувшись к солнцу, распускаются и закрываются в строго определенное время. Жизнeнный цикл мнoгих рaстeний и живoтных сooтнoсится сo врeмeнeм сyтoк. Цвeтки рaзных рaстeний рaскрывaются и зaкрывaются в рaзнoe, при этoм oпрeдeлённoe врeмя. Бoльшинствo цвeтoв рaспyскaются yтрoм и зaкрывaются вeчeрoм, нo eсть и тaкиe, кoтoрыe зaкрывaются и рaскрывaются в сeрeдинe дня или нoчью. Oснoвывaясь нa этoм принципe, в свoё врeмя Кaрл Линнeй придyмaл и сoздaл цвeтoчныe чaсы, кoтoрыe «рaбoтaли» с трёх чaсoв yтрa дo пoлyнoчи. Глядя нa них, мoжнo былo oпрeдeлять врeмя сyтoк с тoчнoстью дo 30 минyт.

Ну и, конечно, само солнце. Славяне делили сутки на день и ночь, ориентируясь на движение небесного светила. Серединой дня был полдень, когда солнце находилось в самой высокой точке. Чем позднее, тем длиннее тени от предметов.

В древности не было электричества, освещать избы было нечем. Да, были свечи, но жечь их постоянно было экономически невыгодно. Потому как только солнце садилось, дома накрывала тьма - можно ложиться спать с чистой совестью. Кроме того, наши предки не нуждались в четком определении времени, в минутах, секундах. Для чего? Рассветает - можно идти в поля, работа - до заката, в сумерках возвращаются в деревню. Пастухи, например, измеряли тень от дерева при помощи лаптей, надетых на ноги. Тень достигла семи лаптей - можно собирать стадо и вести домой.

Интересен процесс замены временных понятий пространственными, например: « -Далеко ли эта деревня? - Да, далековато, два дня ходьбы». Отрезок, которое можно было пройти за один день, называли днище.

Четкие биологические часы

О биологических часах сегодня знают все, так называется внутренний циркадный ритм. Для его формирования требуются годы, с его помощью формируется все биологические процессы человеческого организма. Мы испытываем голод, значит, подошло время обеда, к которому мы привыкли. Нам хочется спать - можно посмотреть на часы убедиться, что уже полночь (час ночи, два и так далее), в зависимости от привычки.

Художник К.Маковский. Крестьянский обед во время жатвы.

Наши предки жили по строгому распорядку. Крестьянка знала, что ей не нужно звать мужа к обеду. Он приходил сам, либо уже ждал жену в поле, поскольку тяжелая работа и привычка делали свое дело, и аппетит разыгрывался очень сильно.

Размеренность, монотонность, свойственные жизни на Руси, следование определенному распорядку, отсутствие искусственного освещения делали ориентировку во времени простой и отчасти условной.

Цветы распускаются и закрываются в определенное время.

Часовые мастерские стали развиваться в России в 18 веке. Это событие ознаменовалось открытием «Часового двора» в Москве. А сегодня часами невозможно удивить даже детсадовца - настолько привычным, недорогим и повсеместно распространенным стал этот предмет.

источники

Жизнь человека неразрывно связана со временем. Поэтому потребность измерять его у людей существовала с древностей. Древние люди для измерения времени использовали природные стихии - воду, песок, а иногда и огонь.

Солнечные часы

Первыми часами человеку служили солнце, луна и звёзды. Позже люди заметили, что, если воткнуть в землю палку, тень от неё в течение дня будет двигаться по кругу. Так появились солнечные часы. Согласно Библии, придумал такие часы царь Ахаз в VIII веке до нашей эры, они упоминаются, как «ступени Ахазовы». В I веке нашей эры римский зодчий Марк Ветрувий в книгах по архитектуре описал тринадцать видов солнечных часов.

Чуть позже появились водные часы. Греки назвали такие часы «клепсидра», что происходит от двух греческих слов «клепто» - похищать и «идор» - вода. Металлический, глиняный или стеклянный сосуд наполняли водой, которая по капле медленно вытекала. В таких часах время измеряли по тому, сколько воды вытекло из сосуда. Несмотря на греческое название, придумали такие часы не греки, а египтяне. Древнейшие водяные часы найдены в храме Амон Ра в Карнаке и относятся к XV-XIV векам до нашей эры.

В античной Элладе с помощью клепсидры определяли регламент выступлений на судебных процессах. Вода капала из большой амфоры. В воде находился поплавок с прикреплённым к нему длинным стержнем, который выступал над краем сосуда. А на стержне была выгравирована шкала, по которой определялось время, прошедшее после начала течения воды.

У Платона была особая клепсидра, которую он использовал как сигнал для сбора своих учеников на занятия. Этот прибор состоял из двух сосудов и флейты.

Песочные часы

В XII веке появились песочные часы. Впервые такие часы упоминаются в документе 1339 года, обнаруженном в Париже. В нём содержатся рекомендации по приготовлению тонкого песка для часов. Подобие таких часов сделал ещё Архимед, но они не прижились, так как отмерять время с их помощью было сложно из-за некачественного стекла.

– Считать предметы мы умеем с первого класса. Это очень просто – один, два, три... Измерить расстояние тоже несложно. А как и чем измерять время? Самыми древними «часами», которые никогда не останавливались и не ломались, оказалось солнце. Утро, вечер, день – не очень-то точные мерки, но поначалу первобытному человеку этого было достаточно. Потом люди стали больше наблюдать за небом и обнаружили, что через определенное время на небосклоне появляется яркая звезда. Эти наблюдения сделали египтяне, и они же назвали эту звезду Сириус . Когда появлялся Сириус, в Египте отмечали наступление Нового года. Так возникла хорошо известная сейчас мера времени – год. Оказалось, что промежуток между появлениями Сириуса состоит из 365 дней. Как видите, подсчеты древних египтян были достаточно точными. Ведь и наш год состоит из 365 дней. Но год слишком уж долгая мера времени. А для того чтобы вести хозяйство: посев, сбор, подготовку урожая, – нужны были более мелкие единицы времени, и люди вновь обратились к небу и звездам. На этот раз на помощь пришла луна, или, по-другому, – месяц. Все вы наблюдали за луной и знаете, что через определенное время она меняет свою форму: от тоненького серпа до яркого круглого диска (полнолуния). Промежуток между двумя полнолуниями и назвали месяцем. Оказалось, что месяц состоит примерно из 29 дней. Вот как точно в Древнем мире умели определять время.

А семидневная неделя возникла в Вавилоне благодаря тем планетам, которые появлялись на небосклоне и были известны вавилонянам:

суббота – день Сатурна;

воскресенье – день Солнца;

понедельник – день Луны;

вторник – день Марса;

среда – день Меркурия;

четверг – день Юпитера;

пятница – день Венеры.

Если бы в Вавилоне были известны и другие планеты нашей Солнечной системы, возможно, наша неделя состояла бы не из 7, а из 9, 10 или 8 дней. Смена этих светил в течение месяца происходила примерно 4 раза. Вот и оказалось, что в месяце 4 недели. Итак, самое сложное – найти мерки времени – было сделано уже в Древнем мире. Этими мерами пользуются по сей день. Только вот называют их по-разному. На Руси название дней недели произошли от порядкового номера дня в неделе:

понедельник – по неделе; начинающий неделю;

вторник – второй день;

среда – середина недели;

четверг – четвертый день;

пятница – пятый день;

суббота , воскресенье – эти названия пришли из церковного словаря.

Выходит, что все главные меры времени (год, месяц, неделя) люди позаимствовали у природы еще много лет назад. Хотя этими мерками нельзя было измерить точное время, но главный шаг все-таки был сделан.

2. Работа в печатной тетради № 2.

Задание № 24.

Решение задачи представлено в непривычной для учащихся форме – в виде схемы. Разбор задачи можно организовать так. Предложите детям внимательно рассмотреть схему решения задачи.

– Во сколько действий решается задача? (В 2 действия.)

– Что предлагается найти в первом действии? (Сколько рам изготавливает один столяр за 2 дня.)

– Чему равен результат? (6 рам.)

– Впишите полученный результат в нужное «окошко».

– Что предлагается найти во втором действии? (Сколько рам изготовят за 2 дня 6 столяров.)

– Выполните вычисления. (6 · 6 = 36.)

– Закончите оформление решения задачи.

Ответ: 36 рам.

В качестве дополнительного задания можно предложить учащимся придумать другой способ решения этой задачи, а затем устно разобрать его.

1) 3 · 6 = 18 – столько рам изготовляют 6 столяров за 1 день;

2) 18 · 2 = 36 – столько рам изготовят 6 столяров за 2 дня.

VI. Итог урока.

– Что нового узнали на уроке?

– Как люди научились измерять время?

Домашнее задание: № 12 (учебник); № 21, 22 (рабочая тетрадь).

Урок 59
Умножение на 6. Деление на 6

Цели урока: составить таблицу деления на 6; совершенствовать навыки решения задач разными способами; закреплять ранее изученные табличные случаи умножения и деления; развивать логическое мышление.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устный счет.

1. Поставьте «+» или «–» так, чтобы равенства были верными.

2. Задача.

В ящике 12 баклажанов, а в корзине 10. Все баклажаны из корзины переложили в ящик. Сколько баклажанов стало в ящике?

3. Дети рисовали многоугольники и превращали их в портреты.

Число сторон в многоугольниках Олега и Светы одинаковое. Периметры многоугольников Светы и Антона равны между собой.

III. Сообщение темы урока.

– Рассмотрите рисунок на доске.

– Какие примеры можно составить к данной иллюстрации?

 +  +  +  +  = 

 ·  = 

– Вставьте числа в «окошки», используя этот рисунок.

– Какие трудности у вас возникли?

– Сегодня на уроке мы составим таблицу деления на 6.

На протяжении всей жизни каждый человек всегда чему-то учится, причем полученные знания спустя некоторое время кажутся настолько естественными, что воспринимаются как привычный факт. В голову даже не закрадывается мысль: как все начиналось? Как люди научились считать и Как давно общество пришло к пониманию того, что в мире практически все подчиняется цифрам?

Как человек научился считать время

Это в современном мире 365 дней в году, 30 дней в месяце и 24 часа в сутках являются естественным фактом. Раньше, когда не было знаний о количестве времени, человек довольствовался способами, придуманными самостоятельно, и средством для этого являлось Солнце. На какую-либо поверхность устанавливался циферблат с отметками и шест, тень от которого перемещалась по окружности. Зависимость от погодных условий являлась существенным недостатком такого устройства: и дожди не давали возможности определения времени. Аналогом такой конструкции в современном мире являются часы, прочно завоевавшие свою нишу и ставшие незаменимым предметом в жизни человека.

Определение времени по звездам, воде и огню

Звезды - символ романтики и мечтаний о чем-то далеком и прекрасном, служили также своего рода определителем времени в ночной период. Для этого были изобретены карты звездного неба, измерение по которым происходило при помощи пассажного инструмента.

Помимо звездных и солнечных часов, популярных практически у всех народов и отличавшихся лишь конструкцией, довольно массово использовались водные экспонаты, представляющие собой емкость цилиндрической формы, из которого по каплям стекала вода. Именно по количеству стекшей воды люди отмеряли время. Такие часы были популярны в Египте, Риме, Вавилоне. А как человек научился считать время в странах Азии? Здесь в устройствах водного типа использовался обратный принцип: плавающий сосуд заполнялся водой, поступающей через маленькое отверстие.

Пытаясь привнести в свою жизнь не только водную, но и огненную стихию, человек также придумал огненные часы, взявшие свое начало в Китае и завоевавшие со временем популярность во всей Европе. Основой этих устройств, определяющих время, являлся горючий материал (в виде палочки или спирали) и прикрепленные к нему металлические шарики, падающие при сгорании определенной доли материала. В Европе в основном использовали свечные часы, предпочитая их лампадным и фитильным. Время по ним определялось количеством сгоревшего воска. Особенно распространены такие часы были в церквях и монастырях.

Песочные часы - раритетная гордость современности

Конечно же, самыми популярными были песочные часы, которые и в настоящее время активно используются для выполнения основной своей функции, а также в качестве предмета декора. Точность исчисляемого времени в устройствах такого типа зависит от качества песка, определяющего равномерность его сыпучести.

История возникновения счетной науки

Понимание времени в его количественном показателе являлось определяющим фактором для познания цифр и умения считать. Причем история возникновения счета настолько давняя, что больше похожа на сказку. Как люди научились считать? Много веков назад человечество жило племенами, вело стадный образ жизни, одевалось в шкуры убитых животных и питалось тем, что его представители могли сами добыть.

Соответственно, и подручными инструментами для выживания и добычи пищи являлись простейшие орудия: палки и камни. Возможно, постоянные опасности и потребность в добыче пищи стали основным толчком к необходимости счета, который в наше время не только воспринимается как естественный факт, но и облегчается при помощи современной вычислительной техники.

Один, два и много

Первыми понятиями, обозначающими количество и разъясняющими, как люди научились считать, были «один» и «много». «Один» - отдельно выделяемый по определенным критериям предмет или особь: вожак стаи, зерно в колосе и т.п. «Много» - общая масса, в которой этот предмет находится.

Появление числа «два», обозначающего «пару»: глаз, ушей, лап, крыльев, рук, объясняет, как человек научился считать во времена несуществующих цифр. Рассказывая о двух добытых утках, охотник показывал на свои глаза, поясняя таким образом количество трофея.

В счетной науке древнего мира наблюдался постепенный прогресс: были уже известны числа «один», «два» и «много». Вскоре человек пришел к тому, что стал из общей массы выделять три, четыре, пять и более предметов, причем данное количество не имело названия, а объяснялось, как сумма известных на тот момент чисел: «2» и «1». Например: «3»- это «1» и «2» в сумме; «4» - сумма «2» и «2»; а «5» - «2», «2» и «1» вместе взятые. В Тибете число «2» -это крылья, в Индии - глаза, у некоторых народов «1» - это луна, «5» - рука. То есть каждое число имело сначала визуально-ассоциативное восприятие, прежде чем получало название.

Счет как жизненно важная необходимость

Как люди научились считать, если умение этому «искусству» на каждом этапе развития человечества становилось просто необходимостью? В процессе охоты при окружении зверя старшему охотнику требовалось правильно расставить людей, чтобы взять животное в кольцо. Для этого он на пальцах показывал, в каком месте и скольким людям требуется занять нужные позиции..

В торговле для обозначения цены также применялась математика пальцев рук (и ног, если стоимость была высокая). К примеру, при обмене сделанного копья на шкурки животных, продавец клал руку на землю и показывал, что напротив каждого пальца требуется положить шкурку. К слову, загибание пальцев обозначало сложение, а их разгибание - вычитание. Это были первые математические примеры, объясняющие, как научились считать в далеком прошлом.

Счетная наука в разных странах

Многие страны, сохранившие в своей истории модели того, как люди научились считать, до сих пор используют наследие прошлого: в Японии и Китае предметы домашнего пользования считают пятерками и десятками; в Англии и Франции - двадцатками.

Древние египтяне, изображавшие любое действие в виде картинки на папирусе, как таковых чисел не записывали. Жители Древнего Рима числа обозначали черточками. Так «I» - это один, «V» - изображение кисти с оттопыренным в сторону пальцем, вернее пяти пальцев в упрощенном варианте, «Х» - две пятерни, сложенные вместе.

С появлением букв для обозначения чисел стали использовать алфавит. К примеру: В-

С появлением букв для обозначения чисел стали использовать алфавит. К примеру: В - это «2», Г - «3», Д - «4», Е - «5». Для отличия букв и цифр над последними ставился значок, именуемый «титло». Способ был не очень удобный, так как не позволял записывать большие числа. Со временем люди стали отделять числа от букв и воспринимать отдельно, независимо от предметов.

Современные которые широко применяются сегодня повсеместно, были изобретены в Индии, а в нашей стране нашли свое применение в 18 веке. Не утратили популярность и римские числа, по сегодняшний день встречающиеся на циферблатах часов, и используемые для обозначения столетий и глав в книгах.

Отличился способом счета Древний Вавилон, в котором за 6 тысяч лет до нашей эры уже велся математический учет хозяйственных операций. Записи такого рода изображались картинками (иероглифами) в виде узких горизонтальных и вертикальных клинышков, откуда и пошло название «клинопись».

Единица обозначалась одним клинышком, двойка - двумя и так далее. Число «10» выделялось широким клином и имело особенное название. Свой расцвет математика Вавилона пережила во времена правления В письменных источниках того временного периода обнаружены доказательства того, как люди научились писать и считать задолго до наших времен. Это записи сложных вычислительных действий, а также решения квадратных и кубических уравнений.

Как научиться считать в уме

Если такие сложные действия были под силу нашим предкам, то для современного поколения математический счет, усовершенствованный временем и множеством великих умов, не должен составлять особой сложности. Правда, наличие вычислительной техники, способной произвести цифровые действия вместо человека, значительно облегчает умственную работу последнего. Поэтому устным счетом, помогающим развивать память и тренировать навыки, должен владеть каждый. Обучение такому виду умственной деятельности будет успешным, если присутствуют:

• способности, которые совместно с умственной концентрацией помогают сосредоточить внимание на поставленной задаче и удержать в памяти сложные числа;
• знание формул, обуславливающих легкость производимых вычислительных действий;
• практика, которая наряду с постоянными тренировками позволяет развивать и совершенствовать навыки.

Примеры несложного умственного счета

Умножение на 4

Легкий способ, при котором число нужно умножить на 2, а полученный результат еще раз удвоить. Например:

35 * 4 = 35* 2 = 70 * 2 = 140

Умножение на 11

Цифры двузначного числа, умножаемого на 11, требуется как бы раздвинуть.

Например:

48 * 11 = 4 и 8 * 11

Потом требуется сложить цифры числа, в данном случае 4 и 8 и полученный результат будет ответом. Важно запомнить, что если при суммировании результатом будет двухзначное число, то оставить нужно только единицы, а к десяткам прибавить 1.

4 (12) 8 = 5 2 8 = 528. То есть из полученного результата 12 оставили единицы - это 2, а к десятку прибавили 1.

Деление на 5

Чтобы данное действие не вызывало сложностей, требуется число увеличить в два раза и переместить запятую на одну цифру назад.

К примеру:

125/5 = 125*2 = 250 (смещение запятой) = 25

Деление на 50

В данном случае закономерность аналогична: число умножается на 2 и делится на 100.

600/50 = 600 * 2 / 100 = 12

Деление на 25

Число умножается на 4 и делится на 100.

700/ 25 = 700*4 / 100 = 28

Сложение и вычитание натуральных чисел

При сложении следует знать такую хитрость, что если одно из слагаемых увеличить на некое число (для облегчения счета), то это же число нужно отнять от результата.

К примеру:

787 + 193 = (787 + 193+ 7 (для округления 193 до 200)) - 7 = (787 + 200) - 7 = 980