Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.
Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.
От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.
Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.
Какую персональную информацию мы собираем:
Как мы используем вашу персональную информацию:
Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.
Исключения:
Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.
Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.
AB и С D пересечены третьей прямой MN , то образовавшиеся при этом углы получают попарно такие названия:соответственные углы : 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7;
внутренние накрест лежащие углы : 3 и 5, 4 и 6;
внешние накрест лежащие углы : 1 и 7, 2 и 8;
внутренние односторонние углы : 3 и 6, 4 и 5;
внешние односторонние углы : 1 и 8, 2 и 7.
Так, ∠ 2 = ∠ 4 и ∠ 8 = ∠ 6, но по доказанному ∠ 4 = ∠ 6.
Следовательно, ∠ 2 =∠ 8.
3. Соответственные углы 2 и 6 одинаковы, поскольку ∠ 2 = ∠ 4, а ∠ 4 = ∠ 6. Также убедимся в равенстве других соответственных углов.
4. Сумма внутренних односторонних углов 3 и 6 будет 2d, потому что сумма смежных углов 3 и 4 равна 2d = 180 0 , а ∠ 4 можно заменить идентичным ему ∠ 6. Также убедимся, что сумма углов 4 и 5 равна 2d.
5. Сумма внешних односторонних углов будет 2d, потому что эти углы равны соответственно внутренним односторонним углам , как углы вертикальные .
Из выше доказанного обоснования получаем обратные теоремы.
Когда при пересечении двух прямых произвольной третьей прямой получим, что:
1. Внутренние накрест лежащие углы одинаковы;
или 2. Внешние накрест лежащие углы одинаковые;
или 3. Соответственные углы одинаковые;
или 4. Сумма внутренних односторонних углов равна 2d = 180 0 ;
или 5. Сумма внешних односторонних равна 2d = 180 0 ,
то первые две прямые параллельны.
Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com
Угол между прямыми
Цели и задачи урока: Сформировать понятие угла между: Пересекающимися; Параллельными; скрещивающимися прямыми. Научиться находить угол между: Пересекающимися; параллельными; скрещивающимися прямыми.
Вспомним: Основание призмы ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – трапеция. Какие из следующих пар прямых являются скрещивающими?
Расположение прямых в пространстве и угол между ними 1. Пересекающиеся прямые. 2. Параллельные прямые. 3. Скрещивающиеся прямые.
Любые две пересекающие прямые лежат в одной плоскости и образуют четыре неразвернутых угла.
Если пересекающиеся прямые образуют четыре равных угла, то угол между этими прямыми равен 90°. а b
Угол между двумя параллельными прямыми равен 0° .
Углом между двумя пересекающимися прямыми в пространстве называется наименьший из углов, образованных лучами этих прямых с вершиной в точке их пересечения.
Углом между скрещивающимися прямыми a и b называется угол между построенными пересекающимися прямыми и.
Угол между скрещивающимися прямыми, как и между прямыми одной плоскости, не может быть больше 90°. Две скрещивающиеся прямые, которые образуют угол в 90°, называются перпендикулярными. a b a 1 c c 1 d
Угол между скрещивающими прямыми Пусть AB и CD – две скрещивающиеся прямые. Возьмём произвольную точку М 1 пространства и проведём через неё прямые А 1 В 1 и C 1 D 1 , соответственно параллельные прямым AB и CD . А В C D А 1 В 1 C 1 D 1 M 1 φ Если угол между прямыми А 1 В 1 и C 1 D 1 равен φ, то будем говорить, что угол между скрещивающимися прямыми АВ и CD равен φ.
Найдём угол между скрещивающимися прямыми AB и CD В качестве точки M 1 можно взять любую точку на одной из скрещивающихся прямых. А В C D M 1 А 1 В 1 φ
Физкультминутка для глаз
Покажите перпендикулярные скрещивающиеся прямые в окружении.
Дано изображение куба. Найдите угол между скрещивающимися прямыми а и b . 90° 45° Ответ Ответ
Дано изображение куба. Найдите угол между скрещивающимися прямыми а и b . 90° 60° Ответ Ответ
Дано изображение куба. Найдите угол между скрещивающимися прямыми а и b 90° 90° Ответ Ответ
Домашнее задание: §4 (стр. 85-89), №268, №269.
Физкультминутка
Задача №1 В правильной пирамиде SABCD , все ребра которой равны 1, точка E – середина ребра SC . Найдите угол между прямыми AD и BE .
Работа в классе: Задачи: № 263 №265 №267
УТВЕРЖДАЮ
Учитель математики
Л. Р. Вольняк
«__» ________ 2016г.
Тема : "Угол между прямыми"
Развивающие:
Воспитательные:
Тип урока: Изучение нового материала.
Методы: словесный (рассказ), наглядный (презентация), диалогический.
Слад3
Ответ: ABи CC 1 ,A 1 D 1 и CC 1 .
Слайд 4
Расположение прямых в пространстве и угол между ними.
Слайд 5
Любые две пересекающие прямые лежат в одной плоскости и образуют четыре неразвернутых угла.
Слайд 6
Если пересекающиеся прямые образуют четыре равных угла, то угол между этими прямыми равен 90°.
Слайд 7
Угол между двумя параллельными прямыми равен 0°.
Слайд 8
Углом между двумя пересекающимися прямыми в пространстве называется наименьший из углов, образованных лучами этих прямых с вершиной в точке их пересечения.
Слайд 9 a и b и .
Слайд 10
Угол между скрещивающимися прямыми, как и между прямыми одной плоскости, не может быть больше 90°. Две скрещивающиеся прямые, которые образуют угол в 90°, называются перпендикулярными.
Слайд 11
Угол между скрещивающими прямыми.
Пусть ABи CD – две скрещивающиеся прямые.
Возьмём произвольную точку М 1 пространства и проведём через неё прямые А 1 В 1 и C 1 D 1 , соответственно параллельные прямым AB и CD.
Если угол между прямыми А 1 В 1 и C 1 D 1 равен φ, то будем говорить, что угол между скрещивающимися прямыми АВ и CD равен φ.
Слайд 12
Найдём угол между скрещивающимися прямыми ABи CD.
В качестве точки M 1 можно взять любую точку на одной из скрещивающихся прямых.
Слайд 13
Физкультминутка
Слайд 14
1. Покажите перпендикулярные скрещивающиеся прямые в окружении.
Слайд 15
2. Дано изображение куба. Найдите угол между скрещивающимися прямыми а и b.
а) 90°; б) 45°;
Слайд 16
в) 60°; г) 90°;
Слайд 17
д) 90°; е) 90°.
Слайд 19
Физкультминутка
Слайд 20
№1.
В правильной пирамиде SABCD , все ребра которой равны 1, точка E – середина ребра SC .Найдите угол между прямыми AD и BE .
Решение:
Искомый угол = углу CBE .Треугольник SBC-равносторонний.
ВE – биссектриса угла = 60. Угол CBE равен 30.
Ответ :30 °.
№263.
Ответ:
Углом между скрещивающимися прямыми a и b называется угол между построенными пересекающимися прямыми a 1 и b 1 , причем a 1 || a, b 1 || b.
№265.
Угол между прямымиaи bравен 90°. Верно ли, что прямые aи bпересекаются?
Ответ:
Неверно, так как прямые могут либо пересекаться, либо скрещиваться.
№267.
DABC – тетраэдр, точка О и F – середины ребра AD и CDсоответственно, отрезок TK – средняя линия треугольника ABC.
Решение:
Дано: DABC,
О – середина AD,
F – серединаCD,
ТК – средняя линия ∆АВС.
Решение:
§4 (стр. 85-89), №268, №269.
УТВЕРЖДАЮ
Учитель математики
Л. Р. Вольняк
«__» ________ 2016г.
Тема : "Угол между прямыми"
Развивающие: развивать пространственное воображение учащихся при решении геометрических задач, геометрическое мышление, интерес к предмету, познавательную и творческую деятельность учащихся, математическую речь, память, внимание; вырабатывать самостоятельность в освоении новых знаний.
Воспитательные: воспитывать у учащихся ответственное отношение к учебному труду, волевые качества; формировать эмоциональную культуру и культуру общения.
Тип урока : обобщение и систематизация знаний и умений.
Методы: словесный (рассказ), диалогический.
№268
ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – прямоугольный параллелепипед, точка О и Т – середины рёбер СС 1 и DD 1 соответственно. а) Верно ли, что угол между прямыми AD и TO равен 90°? б)Чему равен угол между прямыми A 1 B 1 и BC?
Решение:
а) Верно, так как TO || DC => (AD, TO) = ADC = 90° (ABCD – прямоугольник).
б)BC || B 1 C 1 => (A 1 B 1 , BC) = A 1 B 1 C 1 = 90°.
Ответ: 90°, 90°.
№269
ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – куб. а) Верно ли, что угол между прямыми A 1 B и C 1 D равен 90°? б) Найдите угол между прямыми В 1 О и C 1 D. в) Верно ли, что угол между прямыми АС и C 1 D равен 45°?
Решение:
а) Верно, так как В 1 А || C 1 D => (A 1 B, C 1 D)= (B 1 A, A 1 B) = 90°, как угол между диагоналями квадрата.
б) 1. В 1 А || C 1 D=> (B 1 O, C 1 D) = AB 1 O.
2. в Δ AB 1 С AB 1 = В 1 С = АС как диагонали равных квадратов В 1 О – медиана и биссектриса AB 1 С=60° => AB 1 O=30°.
в) нет, так как C 1 D || BA => (AС, C 1 D)= B 1 АC=60° как угол равностороннего Δ AB 1 С.
Ответ: б) 30°.
Метод: фронтальный опрос (устно) :
Диктант (10 мин):
Вариант 1:
Ребро куба равно а .
Найти : (АВ 1 ,СС 1 )
Решение:
СС1‖ВВ1
(АВ1,СС1)= АВ1В
АВ1В=45˚
Ответ: (АВ1,СС1)=45˚
Вариант 2:
Ребро куба равно а .
Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!
Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.
Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.
Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.
Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.
перпендикулярности двух прямых.
1. Если прямые L 1 и L 2 заданы общими уравнениями
А 1 х + В 1 у + С 1 = 0 и А 2 х + В 2 у + С 2 = 0,
то угол между ними равен углу между их нормалями, то есть между векторами {A 1 ,B 1 } и {A 2 ,B 2 }. Следовательно,
Условия параллельности и перпендикулярности прямых тоже сводятся к условиям параллельности и перпендикулярности нормалей:
Условие параллельности, (7.11)
- условие перпендикулярности. (7.12).
2. Если прямые заданы каноническими уравнениями (7.5), по аналогии с пунктом 1 получим:
, (7.13)
Условие параллельности, (7.14)
- условие перпендикулярности. (7.16).
Здесь и - направляющие векторы прямых.
3. Пусть прямые L 1 и L 2 заданы уравнениями с угловыми коэффициентами (7.8)
у = k 1 x +b 1 и y = k 2 x + b 2 , где , а α 1 и α 2 – углы наклона прямых к оси Ох, то для угла φ между прямыми справедливо равенство: φ = α 2 - α 1 . Тогда
Условие параллельности имеет вид: k 1 =k 2 , (7.18)
условие перпендикулярности – k 2 =-1/k 1 , (7.19)
поскольку при этом tgφ не существует.
Расстояние от точки до прямой.
Рассмотрим прямую L и проведем перпендикуляр ОР к ней из начала координат (предполагаем, что прямая не проходит через начало координат). Пусть n – единичный вектор, направление которого совпадает с ОР. Составим уравнение прямой L, в которое входят два параметра: р – длина отрезка ОР и α – угол между ОР и Ох.
Для точки М, лежащей на L, проекция вектора ОМ на прямую
ОР равна р. С другой стороны, пр n OM=n·OM. Поскольку
n ={cosα , sinα }, a OM ={x,y }, получаем, что
x cosα + y sinα = p, или
x cosα + y sinα - p = 0 - (7.20)
Искомое уравнение прямой L , называемое нормальным
уравнением прямой (термин «нормальное уравнение» связан
с тем, что отрезок ОР является перпендикуляром, или нормалью, к данной прямой).
Определение 7.2. Если d – расстояние от точки А до прямой L , то отклонение δ точки А от прямой L есть число +d , если точка А и начало координат лежат по разные стороны от прямой L , и число –d , если они лежат по одну сторону от L .
Теорема 7.1. Отклонение точки А(х 0 ,у 0 ) от прямой L , заданной уравнением (7.20), определяется по формуле:
Доказательство.
Проекция OQ вектора ОА на направление ОР равна
n·OA =x 0 cosα + y 0 sinα. Отсюда δ = PQ=OQ-OP=OQ-p =
x 0 cosα + y 0 sinα - p , что и требовалось доказать
Следствие.
Расстояние от точки до прямой определяется так:
Замечание. Для того, чтобы привести общее уравнение прямой к нормальному виду, нужно умножить его на число , причем знак выбирается противоположным знаку свободного члена С в общем уравнении прямой. Это число называется нормирующим множителем.
Пример. Найдем расстояние от точки А (7,-3) до прямой, заданной уравнением
3х + 4у + 15 = 0. А ² + B ²=9+16=25, C =15>0, поэтому нормирующий множитель равен
1/5, и нормальное уравнение прямой имеет вид: Подставив в его левую часть вместо х и у координаты точки А, получим, что ее отклонение от прямой равно
Следовательно, расстояние от точки А до данной прямой равно 4,8.
8. Прямая и плоскость в пространстве. Уравнения плоскости и прямой в пространстве. Угол между плоскостями. Угол между прямой и плоскостью.
Отметим, что многие утверждения и формулы, касающиеся плоскости в пространстве, доказываются и выводятся так же, как при изучении прямой на плоскости, поэтому в этих случаях будут даваться ссылки на предыдущую лекцию.
Плоскость в пространстве.
Получим сначала уравнение плоскости, проходящей через точку М 0 (х 0 ,у 0 ,z 0 ) перпендикулярно вектору n = {A,B,C },называемому нормалью к плоскости. Для любой точки плоскости М(х, у, z ) вектор М 0 М = {x - x 0 , y - y 0 , z - z 0 ) ортогонален вектору n , следовательно, их скалярное произведение равно нулю:
A(x - x 0 ) + B(y - y 0 ) + C(z - z 0 ) = 0. (8.1)
Получено уравнение, которому удовлетворяет любая точка заданной плоскости – уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.
После приведения подобных можно записать уравнение (8.1) в виде.