I. Множество представляет собой совокупность некоторых предметов или чисел, составленных по каким-либо общим свойствам или законам (множество букв на странице, множество правильных дробей со знаменателем 5 , множество звезд на небе и т.д.).
Для записи множества используют фигурные скобки: «{ »- множество открывается; "}" — множество закрывается. А само множество называют заглавными латинскими буквами: А, В, С и так далее.
Примеры.
1 . Записать множество А , состоящее из всех гласных букв в слове «математика» .
Решение. А={а, е, и}. Вы видите: несмотря на то,что в слове «математика» имеется три буквы «а» — в записи множества повторений не допускается, и буква «а» записывается только один раз. Множество А состоит из трех элементов.
2. Записать множество всех правильных дробей со знаменателем 5 .
Решение. Вспоминаем: правильной называют обыкновенную дробь, у которой числитель меньше знаменателя. Обозначим через В искомое множество. Тогда:
Множество В состоит из четырех элементов.
II. Множества состоят из элементов и бывают конечными или бесконечными. Множество, которое не содержит ни одного элемента, называют пустым множеством и обозначают Ø.
III. Множество В называют подмножеством множества А , если все элементы множества В являются элементами множества А.
3. Какое из двух данных множеств В и С К ,
если В ={-1; 3; 4}, C ={0; 3; 4; 5), K ={0; 2; 3; 4; 5; 6} ?
Решение. Все элементы множества С являются также элементами множества К , поэтому, множество С является подмножеством множества К. Записывают:
IV. Пересечением множеств А и В называется множество, элементы которого принадлежат и множеству А и множеству В .
4. Показать пересечение двух множеств М и F с помощью кругов Эйлера.
Решение.
Математическим анализом называется раздел математики, занимающийся исследованием функций на основе идеи бесконечно малой функции.
Основными понятиями математического анализа являются величина, множество, функция, бесконечно малая функция, предел, производная, интеграл.
Величиной называется все что может быть измерено и выражено числом.
Множеством называется совокупность некоторых элементов, объединенных каким-либо общим признаком. Элементами множества могут быть числа, фигуры, предметы, понятия и т.п.
Множества обозначаются прописными буквами, а элементы множество строчными буквами. Элементы множеств заключаются в фигурные скобки.
Если элемент x
принадлежит множеству X
, то записывают x
∈ Х
(∈
— принадлежит).
Если множество А является частью множества В, то записывают А ⊂ В
(⊂
— содержится).
Множество может быть задано одним из двух способов: перечислением и с помощью определяющего свойства.
Например, перечислением заданы следующие множества:Множество (-∞;+∞) называется числовой прямой , а любое число — точкой этой прямой. Пусть a — произвольная точка числовой прямой иδ — положительное число. Интервал (a-δ; a+δ) называется δ-окрестностью точки а .
Множество Х ограничено сверху (снизу), если существует такое число c, что для любого x ∈ X выполняется неравенство x≤с (x≥c). Число с в этом случае называется верхней(нижней) гранью множества Х. Множество, ограниченное и сверху и снизу, называется ограниченным . Наименьшая (наибольшая) из верхних (нижних) граней множества называется точной верхней (нижней) гранью этого множества.
N | {1,2,3,...,n} Множество всех |
Z | {0, ±1, ±2, ±3,...} Множество целых чисел. Множество целых чисел включает в себя множество натуральных. |
Q |
Множество рациональных чисел . Кроме целых чисел имеются ещё и дроби. Дробь — это выражение вида , где p — целое число, q — натуральное. Десятичные дроби также можно записать в виде . Например: 0,25 = 25/100 = 1/4. Целые числа также можно записать в виде . Например, в виде дроби со знаменателем "один": 2 = 2/1. Таким образом любое рациональное число можно записать десятичной дробью — конечно или бесконечной периодической. |
R |
Множество всех вещественных чисел . Иррациональные числа — это бесконечные непериодические дроби. К ним относятся: Вместе два множества (рациональных и иррациональных чисел) — образуют множество действительных (или вещественных) чисел. |
Если множество не содержит ни одного элемента, то оно называется пустым множеством и записывается Ø .
Запись ∀x: |x|<2 → x 2 < 4 означает: для каждого x такого, что |x|<2, выполняется неравенство x 2 < 4.
КванторПри записи математических выражений часто используются кванторы.
Квантором называется логический символ, который характеризует следующие за ним элементы в количественном отношении.
Два множества А и В равны
(А=В), если они состоят из одних и тех же элементов.
Например, если А={1,2,3,4}, B={3,1,4,2} то А=В.
Объединением (суммой)
множеств А и В называется множество А ∪ В, элементы которого принадлежат хотя бы одному из этих множеств.
Например, если А={1,2,4}, B={3,4,5,6}, то А ∪ B = {1,2,3,4,5,6}
Пересечением (произведением)
множеств А и В называется множество А ∩ В, элементы которого принадлежат как множеству А, так и множеству В.
Например, если А={1,2,4}, B={3,4,5,2}, то А ∩ В = {2,4}
Разностью
множеств А и В называется множество АВ, элементы которого принадлежат множесву А, но не принадлежат множеству В.
Например, если А={1,2,3,4}, B={3,4,5}, то АВ = {1,2}
Симметричной разностью
множеств А и В называется множество А Δ В, являющееся объединением разностей множеств АВ и ВА, то есть А Δ В = (АВ) ∪ (ВА).
Например, если А={1,2,3,4}, B={3,4,5,6}, то А Δ В = {1,2} ∪ {5,6} = {1,2,5,6}
A ∪ B = B ∪ A
A ∩ B = B ∩ A
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
Для того, чтобы сравнить два каких-либо множества А и В, между их элементами устанавливают соответствие.
Если это соответствие взаимооднозначное, то множества называются эквивалентными или равномощными, А В или В А.
Пример 1Множество точек катета ВС и гипотенузы АС треугольника АВС являются равномощными.
9-10 классы
Модуль 1: Основы теории множеств
А) Объясните, из каких элементов состоят множества N , Z , Q , R .
Б) Назовите несколько чисел, являющихся элементами для каждого множества.
В) Назовите числа, которые являются элементами одного из множеств, и не являются элементами остальных трех.
Г) Нарисуйте диаграмму, показывающую взаимосвязь этих множеств между собой.
Ответ.
В) Такие элементы есть только во множестве R . Например, R , но N , Z , Q . Элементы любого из множеств N , Z , Q обязательно входят и в множество R .
Г
N
–
множество натуральных чисел;
Z
–
множество целых чисел;
Q
–
множество рациональных чисел;
R
–
множество действительных чисел.
Учителю.
Рассматривая материал, мы не выходим за множество действительных чисел.
Задание 2.
Задайте множество:
А) учителей математики Вашей школы;
Б) нечетных чисел;
В) корней уравнения х 2 + 5 = 0;
Г) решений неравенства х > 4;
Ответ: Б) {х х = 2n - 1; n Z };
Учителю.
При необходимости можно повторить запись числовых множеств решений неравенств разного вида (приложение «Таблица»).
Равные множества.
Множества, состоящие из одних и тех же элементов, считают равными.
Например, А = {1, 2, 3 }; В ={ х (х - 1)(х - 2)(х - 3) = 0 }. А = В.
Отношение равенства для множеств, как и отношение равенства для чисел, обладает свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности.
Мощность множества. Для множества, имеющего конечное число элементов, мощностью называется количество его элементов.
А = {а; b ; c ; d }. Его мощность: А = 4.
Если два множества имеют одинаковую мощность, говорят, что они равномощны. Множество А равномощно множеству времен года.
Все конечные множества можно мысленно рассортировать, относя в один и тот же класс все множества с одинаковым количеством элементов. И каждому классу поставить в соответствие как характеристику этого множества некоторое число. Таким образом, натуральное число 1 - это общая характеристика всех множеств, имеющих один элемент, натуральное число 5 - это общая характеристика всех множеств, имеющих пять элементов.
Взаимно-однозначное соответствие можно установить и для бесконечных множеств. Например, запишем в один ряд все натуральные числа, а в другой – все четные, элемент под элементом.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 . . .
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 . . .
Мы видим, что все числа первого множества имеют однозначно определенную пару во втором множестве и наоборот. То есть множество натуральных чисел имеет столько же элементов, сколько и множество натуральных четных. То есть они равномощны.
Множества, равномощные множеству натуральных чисел N, называются счетными. Интересно, что счетным является, например, множество положительных рациональных чисел.
Мощность множества всех действительных чисел называется мощностью континуума. Мощность континуум имеют также все множества, равномощные интервалу (0,1). Таким образом, множество всех действительных чисел равномощно интервалу (0,1).
Отношение равномощности также обладает свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности.
То есть, для любых множеств А и В справедливо:
Задание 3 . Найдите мощность множеств:
А) Т - множество трехзначных натуральных чисел;
Б) К – множество граней куба;
В) Р – множество натуральных чисел, кратных 7.
Г) Приведите примеры множеств, равномощных каждому из п. А-В.
Ответ:
А) Т= 900; Б) К= 6; В) множество К – счетное.
Учителю
. Проговорите с учащимися о различии понятий равенство множеств и равномощность множеств.
Задание 4. А – множество букв слова «КОЛЬЦО», В – множество букв слова «ЦОКОЛЬ», С -
множество букв слова «УЛИЦА». Укажите равные и равномощные множества.
Материалы разработаны методистами Новосибирского центра продуктивного обучения
|
1.1. Основные понятия и определения теории множеств
Любое понятие дискретной математики можно определить с помощью понятия множества, которое является одним из фундаментальных понятий и было сформулировано впервые немецким математиком Г. Кантором.
Под множеством понимается любая совокупность определенных и различимых между собой объектов, мыслимая как единое целое.
Можно говорить о множестве стульев в комнате, людей, живущих в г. Воронеже, студентов в группе, о множестве натуральных чисел, букв в алфавите, состояний системы и т. п. При этом о множестве можно вести речь только тогда, когда элементы множества различимы между собой. Например, нельзя говорить о множестве капель в стакане воды, так как невозможно четко и ясно указать каждую отдельную каплю.
Отдельные объекты, из которых состоит множество, называют элементами множества. Так, число 3 – элемент множества натуральных чисел, а буква б – элемент множества букв русского алфавита.
Общим обозначением множества служит пара фигурных скобок { }, внутри которых перечисляются элементы множества. Для обозначения конкретных множеств используют различные прописные буквы A , S , X ... или прописные буквы с индексами А 1 , А 2 . Для обозначения элементов множества в общем виде используют различные строчные буквы а , s , x ... или строчные буквы с индексами а 1 , а 2 ...
Для указания того, что некоторый элемент а S , используется символ Î принадлежности множеству. Запись a ÎS означает, что элемент a принадлежит множеству S , а запись x ÏS означает, что элемент х не принадлежит множеству S . Записью х 1 , x 2 ,... ...,x n ÎS пользуются в качестве сокращения для записи x 1 ÎS , x 2 ÎS ,..., x n ÎS .
Как правило, считается, что все элементы множества различны. Множество с повторяющимися элементами называется мультимножеством. Мультимножества играют важную роль в комбинаторике. В дальнейшем будут рассматриваться множества с различными элементами.
Будем использовать следующие обозначения для числовых множеств:
– множество натуральных чисел, т.е.
– множество целых чисел, т.е. = {0, ±1, ±2, …};
– множество рациональных чисел, ={ / \ , Î ; ¹ 0};
– множество вещественных чисел;
– множество комплексных чисел.
Множества бывают конечными и бесконечными. Множество называют конечным, если число его элементов конечно, т. е. если существует натуральное число n , являющееся числом элементов множества. Множество называют бесконечным , если оно содержит бесконечное число элементов. Количество элементов конечного множества называется мощностью и обозначается =n , если множество X содержит n элементов.
Важным понятием теории множеств является понятие пустого множества. Пустым множеством называют множество, не содержащее ни одного элемента. Пустое множествообозначают символом Например:
{x ÎR | x 2 -x +1=0}=
Понятие пустого множества играет очень важную роль при задании множеств с помощью описания. Так, без понятия пустого множества мы не могли бы говорить о множестве отличников группы или о множестве вещественных корней квадратного уравнения, не убедившись предварительно, есть ли вообще в данной группе отличники или имеет ли данное уравнение вещественные корни. Введение пустого множества позволяет совершенно спокойно оперировать с множеством отличников группы, не заботясь о том, есть или нет в рассматриваемой группе отличники. Пустое множество будем условно относить к конечным множествам.
Множество, содержащие все элементы, находящиеся в рассмотрении, называется универсальным или универсумом и обозначается U .
Для того чтобы оперировать с конкретными множествами, нужно уметь их задавать. Существуют два способа задания множеств: перечисление и описание. Задание множества способом перечисления соответствует перечислению всех элементов, составляющих множество. Так, множество отличников группы можно задать, перечислив студентов, которые учатся на отлично, например {Иванов, Петров, Сидоров}. Для сокращения записи Х ={х 1 , х 2 , ...,х n } иногда вводят множество индексов I ={1, 2,..., n } и пишут X ={x i }, i ÎI . Такой способ удобен при рассмотрении конечных множеств, содержащих небольшое число элементов, но иногда он может применяться и для задания бесконечных множеств, например {2, 4, 6, 8...}. Естественно, что такая запись применима, если вполне ясно, что понимается под многоточием.
Описательный способ задания множества состоит в том, что указывается характерное свойство, которым обладают все элементы множества. При этом используется запись
X ={x | x обладает свойством Q (x )}.
Выражение в скобках читается: множество всех элементов х , которые обладают свойством Q (x ). Так, если М - множество студентов группы, то множество A отличников этой группы запишется в виде А ={х ÎМ | х – отличник группы},
что читается следующим образом: множество А состоит из элементов х множества М , обладающих тем свойством, что х является отличником группы.
В тех случаях, когда не вызывает сомнений, из какого множества берутся элементы х , указание о принадлежности х множеству М можно не делать. При этом множество А запишется в виде
А={х | х – отличник группы}.
Приведем несколько примеров задания множеств методом описания: {x | x – четное} – множество четных чисел;
{х | х 2 –1=0} – множество {+1, –1}.
Пусть Z – множество целых чисел. Тогда {x ÎZ | 0<x £7} есть множество {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.
Множество нечетных чисел можно определить как {x | x =2k +1 для некоторого k ÎZ }.
Способ задания множества с помощью свойств таит некоторые опасности, поскольку «неправильно» заданные свойства могут привести к противоречию. Приведем один из наиболее типичных парадоксов – парадокс Рассела. Рассмотрим множество всех множеств, которые не являются своими собственными элементами: . Спросим теперь, является ли множества К своим элементом? Если К ÎК , то должно выполняться свойство, задающее множество К , т.е. К ÏК , что приводит к противоречию. Если К ÏК , то, поскольку выполняется свойство, задающее К , приходим к тому, что К ÎК , а это противоречит предположению. Таким образом, не всякое свойство приводит к осмысленному заданию множества.
Кроме того, множество можно задать с помощью характеристической функции, значения которой указывают является ли (да или нет) х элементом множества Х :
Заметим, что для любых элементов = 0; = 1.
Пример. Пусть на универсуме U ={a,b,c,d,e } определено множество X ={a,c,d }, тогда
Для произвольных множеств X и Y можно определить два типа отношений – отношение равенства и отношение включения.
Два множества считаются равными, если они состоят из одних и тех же элементов. Принято обозначение X =Y , если X и Y равны, и X Y – иначе.
Легко видеть, что для любых множеств X , Y , Z справедливы соотношения
Из определения равенства множеств вытекает, что порядок элементов в множестве несуществен. Так, например, множества {3, 4, 5, 6} и {4, 5, 6, 3} представляют собой одно и то же множество.
Если каждый элемент множества X является элементом множества Y , то говорят, что X включено в Y и обозначают :
В этом случае говорят, что множество X является подмножеством множества Y . В частности X и Y могут совпадать, поэтому называется также отношением нестрогого включения. Отметим некоторые свойства подмножества, вытекающее из его определения:
Если и , то говорят, что X есть собственное подмножество Y и обозначают , отношение между множествами в этом случае называется отношением нестрогого включения. Для отношения строгого включения справедливо
Невключение подмножества X в множество Y обозначается X . Такое множество называется семейством множества или булеаном множества X и обозначается P (X ) Так как включено в любое множество, то .
Пример. Пусть . Тогда
Множество – основное понятие математики и поэтому не определяется через другие.
Обычно под множеством понимают совокупность предметов, объединенных по общему признаку. Так, можно говорить о множестве студентов в группе, множестве букв русского алфавита и т.д. В повседневной жизни вместо слова «множество» употребляют слова «набор», «коллекция», «группа» и т.д. Множества принято обозначать прописными буквами латинского алфавита: А , В , С , ..., Z .
Для числовых множеств в математике приняты специальные обозначения:
N – множество натуральных чисел;
N 0 – множество целых неотрицательных чисел;
Z – множество целых чисел;
Q – множество рациональных чисел;
R – множество действительных чисел.
Объекты, из которых образовано множество, называют его элементами. Например, сентябрь является элементом множества месяцев в году, число 5 – элемент множества натуральных чисел. Элементы множества принято обозначать строчными буквами латинского алфавита. Элементами множества могут быть множества. Так можно говорить о множестве групп института. Элементы этого множества – группы, являющиеся в свою очередь множествами студентов.
Связь между множеством и его элементом выражают при помощи слова «принадлежит». Высказывание «Элемент а принадлежит множеству А » записывают так: а А , причем эта запись может быть прочитана иначе: «а – элемент множества А », «множество А содержит элемент а ». Высказывание «Элемент а не принадлежит множеству А » записывают так: а А (иначе: «а не является элементом множества А », «множество А не содержит элемент а »).
Если в обыденной речи слово «множество» связывают с большим числом предметов, то в математике этого не требуется. Множество может содержать один элемент, не содержать ни одного элемента.
Множество, не содержащее ни одного элемента, называют пустым и обозначают символом . Существует лишь одно пустое множество. Примерами пустого множества могут служить множество людей на Солнце, множество натуральных корней уравнения х + 8 = 0.
Множества могут быть конечными и бесконечными.
Множество называется конечным, если существует натуральное число п , такое, что все элементы множества можно перенумеровать числами от 1 до п . в противном случае множество называют бесконечным. Примером конечного множества является множество цифр, бесконечного – множество натуральных чисел.
Множество считают заданным, если о любом объекте можно сказать, принадлежит он этому множеству или не принадлежит.
Множество можно задать, перечислив все его элементы. Запись С = {а, б, в, г} обозначает, что множество С содержит элементы а, б, в, г.
Каждый элемент входит в множество только один раз. Например, множество различных букв в слове «математика» запишется так: {м, а, т, е, и, к}.
Данный способ применим для конечных множеств, которые содержат небольшое число элементов.
Иногда, используя данный способ, можно задать и бесконечное множество. Например, множество натуральных чисел может быть представлено в виде: N = {1, 2, 3, 4, ...}. Такой способ записи возможен лишь тогда, когда из записанной части множества видно, что скрывается под многоточием.
Другой способ задания множеств состоит в следующем: указывают характеристическое свойство его элементов. Характеристическое свойство – это такое свойство, которым обладает каждый элемент, принадлежащий множеству, и не обладает ни один элемент, который ему не принадлежит.
Случается, что одно и то же множество можно задать, указав различные характеристические свойства его элементов. Например, множество двузначных чисел, делящихся на 11 и множество натуральных чисел первой сотни, записанных двумя одинаковыми цифрами, содержат одни и те же элементы.
При данном способе задания множество может быть записано так: в фигурных скобках пишут сначала обозначение элемента, затем проводят вертикальную черту, после которой записывают свойство, которым обладают элементы данного множества. Например, множество А натуральных чисел, меньших 5, запишется так: А = {х х N , х < 5}.