Решение показательных уравнений. Примеры.

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно "не очень..."
И для тех, кто "очень даже...")

Что такое показательное уравнение ? Это уравнение, в котором неизвестные (иксы) и выражения с ними находятся в показателях каких-то степеней. И только там! Это важно.

Вот вам примеры показательных уравнений :

3 х ·2 х = 8 х+3

Обратите внимание! В основаниях степеней (внизу) - только числа . В показателях степеней (вверху) - самые разнообразные выражения с иксом. Если, вдруг, в уравнении вылезет икс где-нибудь, кроме показателя, например:

это будет уже уравнение смешанного типа. Такие уравнения не имеют чётких правил решения. Мы их пока рассматривать не будем. Здесь мы будем разбираться с решением показательных уравнений в чистом виде.

Вообще-то, даже чистые показательные уравнения чётко решаются далеко не всегда. Но существуют определённые типы показательных уравнений, которые решать можно и нужно. Вот эти типы мы и рассмотрим.

Решение простейших показательных уравнений.

Для начала решим что-нибудь совсем элементарное. Например:

Даже безо всяких теорий, по простому подбору ясно, что х=2. Больше-то никак, верно!? Никакое другое значение икса не катит. А теперь глянем на запись решения этого хитрого показательного уравнения:

Что мы сделали? Мы, фактически, просто выкинули одинаковые основания (тройки). Совсем выкинули. И, что радует, попали в точку!

Действительно, если в показательном уравнении слева и справа стоят одинаковые числа в каких угодно степенях, эти числа можно убрать и приравнять показатели степеней. Математика позволяет. Остаётся дорешать куда более простое уравнение. Здорово, правда?)

Однако, запомним железно: убирать основания можно только тогда, когда слева и справа числа-основания находятся в гордом одиночестве! Безо всяких соседей и коэффициентов. Скажем, в уравнениях:

2 х +2 х+1 = 2 3 , или

двойки убирать нельзя!

Ну вот, самое главное мы и освоили. Как переходить от злых показательных выражений к более простым уравнениям.

"Вот те раз!" - скажете вы. "Кто ж даст такой примитив на контрольных и экзаменах!?"

Вынужден согласиться. Никто не даст. Но теперь вы знаете, куда надо стремиться при решении замороченных примеров. Надо приводить его к виду, когда слева - справа стоит одно и то же число-основание. Дальше всё будет легче. Собственно, это и есть классика математики. Берём исходный пример и преобразовываем его к нужному нам виду. По правилам математики, разумеется.

Рассмотрим примеры, которые требуют некоторых дополнительных усилий для приведения их к простейшим. Назовём их простыми показательными уравнениями.

Решение простых показательных уравнений. Примеры.

При решении показательных уравнений, главные правила - действия со степенями. Без знаний этих действий ничего не получится.

К действиям со степенями надо добавить личную наблюдательность и смекалку. Нам требуются одинаковые числа-основания? Вот и ищем их в примере в явном или зашифрованном виде.

Посмотрим, как это делается на практике?

Пусть нам дан пример:

2 2х - 8 х+1 = 0

Первый зоркий взгляд - на основания. Они... Они разные! Два и восемь. Но впадать в уныние - рано. Самое время вспомнить, что

Двойка и восьмёрка - родственнички по степени.) Вполне можно записать:

8 х+1 = (2 3) х+1

Если вспомнить формулку из действий со степенями:

(а n) m = a nm ,

то вообще отлично получается:

8 х+1 = (2 3) х+1 = 2 3(х+1)

Исходный пример стал выглядеть вот так:

2 2х - 2 3(х+1) = 0

Переносим 2 3 (х+1) вправо (элементарных действий математики никто не отменял!), получаем:

2 2х = 2 3(х+1)

Вот, практически, и всё. Убираем основания:

Решаем этого монстра и получаем

Это правильный ответ.

В этом примере нас выручило знание степеней двойки. Мы опознали в восьмёрке зашифрованную двойку. Этот приём (шифровка общих оснований под разными числами) - очень популярный приём в показательных уравнениях! Да и в логарифмах тоже. Надо уметь узнавать в числах степени других чисел. Это крайне важно для решения показательных уравнений.

Дело в том, что возвести любое число в любую степень - не проблема. Перемножить, хоть на бумажке, да и всё. Например, возвести 3 в пятую степень сможет каждый. 243 получится, если таблицу умножения знаете.) Но в показательных уравнениях гораздо чаще надо не возводить в степень, а наоборот... Узнавать, какое число в какой степени скрывается за числом 243, или, скажем, 343... Здесь вам никакой калькулятор не поможет.

Степени некоторых чисел надо знать в лицо, да... Потренируемся?

Определить, какими степенями и каких чисел являются числа:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

Ответы (в беспорядке, естественно!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

Если приглядеться, можно увидеть странный факт. Ответов существенно больше, чем заданий! Что ж, так бывает... Например, 2 6 , 4 3 , 8 2 - это всё 64.

Предположим, что вы приняли к сведению информацию о знакомстве с числами.) Напомню ещё, что для решения показательных уравнений применим весь запас математических знаний. В том числе и из младших-средних классов. Вы же не сразу в старшие классы пошли, верно?)

Например, при решении показательных уравнений очень часто помогает вынесение общего множителя за скобки (привет 7 классу!). Смотрим примерчик:

3 2х+4 -11·9 х = 210

И вновь, первый взгляд - на основания! Основания у степеней разные... Тройка и девятка. А нам хочется, чтобы были - одинаковые. Что ж, в этом случае желание вполне исполнимое!) Потому, что:

9 х = (3 2) х = 3 2х

По тем же правилам действий со степенями:

3 2х+4 = 3 2х ·3 4

Вот и отлично, можно записать:

3 2х ·3 4 - 11·3 2х = 210

Мы привели пример к одинаковым основаниям. И что дальше!? Тройки-то нельзя выкидывать... Тупик?

Вовсе нет. Запоминаем самое универсальное и мощное правило решения всех математических заданий:

Не знаешь, что нужно - делай, что можно!

Глядишь, всё и образуется).

Что в этом показательном уравнении можно сделать? Да в левой части прямо просится вынесение за скобки! Общий множитель 3 2х явно намекает на это. Попробуем, а дальше видно будет:

3 2х (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

Пример становится всё лучше и лучше!

Вспоминаем, что для ликвидации оснований нам необходима чистая степень, безо всяких коэффициентов. Нам число 70 мешает. Вот и делим обе части уравнения на 70, получаем:

Оп-па! Всё и наладилось!

Это окончательный ответ.

Случается, однако, что выруливание на одинаковые основания получается, а вот их ликвидация - никак. Такое бывает в показательных уравнениях другого типа. Освоим этот тип.

Замена переменной в решении показательных уравнений. Примеры.

Решим уравнение:

4 х - 3·2 х +2 = 0

Сначала - как обычно. Переходим к одному основанию. К двойке.

4 х = (2 2) х = 2 2х

Получаем уравнение:

2 2х - 3·2 х +2 = 0

А вот тут и зависнем. Предыдущие приёмы не сработают, как ни крутись. Придётся доставать из арсенала ещё один могучий и универсальный способ. Называется он замена переменной.

Суть способа проста до удивления. Вместо одного сложного значка (в нашем случае - 2 х) пишем другой, попроще (например - t). Такая, казалось бы, бессмысленная замена приводит к потрясным результатам!) Просто всё становится ясным и понятным!

Итак, пусть

Тогда 2 2х = 2 х2 = (2 х) 2 = t 2

Заменяем в нашем уравнении все степени с иксами на t:

Ну что, осеняет?) Квадратные уравнения не забыли ещё? Решаем через дискриминант, получаем:

Тут, главное, не останавливаться, как бывает... Это ещё не ответ, нам икс нужен, а не t. Возвращаемся к иксам, т.е. делаем обратную замену. Сначала для t 1:

Стало быть,

Один корень нашли. Ищем второй, из t 2:

Гм... Слева 2 х, справа 1... Неувязочка? Да вовсе нет! Достаточно вспомнить (из действий со степенями, да...), что единичка - это любое число в нулевой степени. Любое. Какое надо, такое и поставим. Нам нужна двойка. Значит:

Вот теперь всё. Получили 2 корня:

Это ответ.

При решении показательных уравнений в конце иногда получается какое-то неудобное выражение. Типа:

Из семёрки двойка через простую степень не получается. Не родственники они... Как тут быть? Кто-то, может и растеряется... А вот человек, который прочитал на этом сайте тему "Что такое логарифм?" , только скупо улыбнётся и запишет твёрдой рукой совершенно верный ответ:

Такого ответа в заданиях "В" на ЕГЭ быть не может. Там конкретное число требуется. А вот в заданиях "С" - запросто.

В этом уроке приведены примеры решения самых распространённых показательных уравнений. Выделим основное.

Практические советы:

1. Первым делом смотрим на основания степеней. Соображаем, нельзя ли их сделать одинаковыми. Пробуем это сделать, активно используя действия со степенями. Не забываем, что числа без иксов тоже можно превращать в степени!

2. Пробуем привести показательное уравнение к виду, когда слева и справа стоят одинаковые числа в каких угодно степенях. Используем действия со степенями и разложение на множители. То что можно посчитать в числах - считаем.

3. Если второй совет не сработал, пробуем применить замену переменной. В итоге может получиться уравнение, которое легко решается. Чаще всего - квадратное. Или дробное, которое тоже сводится к квадратному.

4. Для успешного решения показательных уравнений надо степени некоторых чисел знать "в лицо".

Как обычно, в конце урока вам предлагается немного порешать.) Самостоятельно. От простого - к сложному.

Решить показательные уравнения:

Посложнее:

2 х+3 - 2 х+2 - 2 х = 48

9 х - 8·3 х = 9

2 х - 2 0,5х+1 - 8 = 0

Найти произведение корней:

2 3-х + 2 х = 9

Получилось?

Ну, тогда сложнейший пример (решается, правда, в уме...):

7 0.13х + 13 0,7х+1 + 2 0,5х+1 = -3

Что, уже интереснее? Тогда вот вам злой пример. Вполне тянет на повышенную трудность. Намекну, что в этом примере спасает смекалка и самое универсальное правило решения всех математических заданий.)

2 5х-1 · 3 3х-1 · 5 2х-1 = 720 х

Пример попроще, для отдыха):

9·2 х - 4·3 х = 0

И на десерт. Найти сумму корней уравнения:

х·3 х - 9х + 7·3 х - 63 = 0

Да-да! Это уравнение смешанного типа! Которые мы в этом уроке не рассматривали. А что их рассматривать, их решать надо!) Этого урока вполне достаточно для решения уравнения. Ну и, смекалка нужна... И да поможет вам седьмой класс (это подсказка!).

Ответы (в беспорядке, через точку с запятой):

1; 2; 3; 4; решений нет; 2; -2; -5; 4; 0.

Всё удачно? Отлично.

Есть проблемы? Не вопрос! В Особом разделе 555 все эти показательные уравнения решаются с подробными объяснениями. Что, зачем, и почему. Ну и, конечно, там имеется дополнительная ценная информация по работе со всякими показательными уравнениями. Не только с этими.)

Последний забавный вопрос на соображение. В этом уроке мы работали с показательными уравнениями. Почему я здесь ни слова не сказал про ОДЗ? В уравнениях - это очень важная штука, между прочим...

Если Вам нравится этот сайт...

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

Одна и самых сложных тем в начальной школе — решение уравнений.

Усложняется она двумя фактами:

Во-первых, дети не понимают смысл уравнения. Зачем цифру заменили буквой и что это вообще такое?

Во-вторых, объяснение, которое предлагается детям в школьной программе, непонятно в большинстве случаев даже взрослому:

Для того чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.
Для того чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое разделить на частное.
Для того чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к вычитаемому прибавить разность.

И вот, придя домой ребенок чуть ли не плачет.

На помощь приходят родители. И посмотрев в учебник, решают научить ребенка решать «проще».

Нужно же всего лишь перекинуть на одну сторону цифры, поменяв знак на противоположный, понимаешь?

Смотри, х-3=7

Минус три переносим с плюсом к семерке, считаем и получается х=10

В этом месте у детей обычно происходит сбой программы.

Знак? Поменять? Перенести? Что?

— Мама, папа! Вы ничего не понимате! Нам в школе по-другому объясняли!!!
— Тогда и решай как объясняли!

А в школе, тем временем, продолжается тренировка темы.

1. Вначале нужно определить какой компонент действия нужно найти

5+х=17 — нужно найти неизвестное слагаемое.
х-3=7 — нужно найти неизвестное уменьшаемое.
10-х=4 — нужно найти неизвестное вычитаемое.

2. Теперь нужно вспомнить правило, упомянутое выше

Для того чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно…

Как Вы думаете, трудно ли маленькому ученику все это запомнить?

А еще нужно добавить сюда тот факт, что с каждым классом уравнения становятся все сложнее и больше.

В итоге и получается что уравнения для детей одна из самых сложных тем математики в начальной школе.

И даже если ребенок уже в четвертом классе, но у него трудности с решением уравнениями, скорее всего у него проблема с пониманием сути уравнения. И надо просто вернуться назад, к основам.

Сделать это можно за 2 простых шага:

Шаг первый — Надо научить детей понимать уравнения.

Нам потребуется простая кружка.

Напишите пример 3 + 5 = 8

А на дне кружки «х». И, перевернув кружку, закройте цифру «5»

Что под кружкой?

Уверены, ребенок сразу угадает!

Теперь закройте цифру «5». Что под кружкой?

Так можно писать примеры на разные действия и играть. У ребенка происходи понимание, что х = это не просто непонятный знак, а «спрятанная цифра»

Подробнее о технике — в видео

Шаг второй — Научите определять, х в уравнении является целым или частью? Самым большим или «маленьким»?

Для этого нам подойдет техника «Яблоко»

Задайте ребенку вопрос, где в данном уравнении самое большое?

Ребенок ответит «17».

Отлично! Это будет наше яблоко!

Самое большое число — это всегда целое яблоко. Обведем в кружок.

А целое всегда состоит из частей. Давай подчеркнем части.

5 и х — части яблока.

А раз х — это часть. Она больше или меньше? х большое — или маленькое? Как его найти?

Важно отметить, что в таком случае ребенок думает, и понимает, почему, чтобы найти х в данном примере, нужно из 17 вычесть 5.

После того, как ребенок поймет, что ключем к правильному решению уравнений является определить, х — целое или часть, он легко будет решать уравнения.

Потому что запомнить правило, когда понимаешь его гораздо проще, чем наоборот: вызубрить и учиться применять.

Данные техники «Кружка» и «Яблоко» позволяют научить ребенка понимать, что он делает и зачем.

Когда ребенок понимает предмет, он у него начинает получаться.

Когда у ребенка получается, ему это нравится.

Когда нравится, появляется интерес, желание и мотивация.

Когда появляется мотивация — ребенок учится сам.

Учите ребенка понимать программу и тогда процесс учебы станет отнимать у Вас значительно меньше времени и сил.

Вам понравилось объяснение данной темы?

Именно так, просто и легко, мы учим родителей объяснять школьную программу в «Школе умных детей».

Хотите научиться объяснять материалы ребенку также доступно и легко, как в этой статье?

Тогда регистрируйтесь бесплатно на 40 уроков школы умных детей прямо сейчас по кнопке ниже.

Уравнения

Как решать уравнения?

В этом разделе мы вспомним (или изучим – уж кому как) самые элементарные уравнения. Итак, что такое уравнение? Говоря человеческим языком, это какое-то математическое выражение, где есть знак равенства и неизвестное. Которое, обычно, обозначается буквой «х» . Решить уравнение - это найти такие значения икса, которые при подстановке в исходное выражение, дадут нам верное тождество. Напомню, что тождество – это выражение, которое не вызывает сомнения даже у человека, абсолютно не отягощенного математическими знаниями. Типа 2=2, 0=0, ab=ab и т.д. Так как решать уравнения? Давайте разберёмся.

Уравнения бывают всякие (вот удивил, да?). Но всё их бесконечное многообразие можно разбить всего на четыре типа.

4. Все остальные.)

Всех остальных, разумеется, больше всего, да...) Сюда входят и кубические, и показательные, и логарифмические, и тригонометрические и всякие другие. С ними мы в соответствующих разделах плотно поработаем.

Сразу скажу, что иногда и уравнения первых трёх типов так накрутят, что и не узнаешь их… Ничего. Мы научимся их разматывать.

И зачем нам эти четыре типа? А затем, что линейные уравнения решаются одним способом, квадратные другим, дробные рациональные - третьим, а остальные не решаются вовсе! Ну, не то, чтобы уж совсем никак не решаются, это я зря математику обидел.) Просто для них существуют свои специальные приёмы и методы.

Но для любых (повторяю - для любых! ) уравнений есть надёжная и безотказная основа для решения. Работает везде и всегда. Эта основа - Звучит страшно, но штука очень простая. И очень (очень!) важная.

Собственно, решение уравнения и состоит из этих самых преобразований. На 99%. Ответ на вопрос: "Как решать уравнения? " лежит, как раз, в этих преобразованиях. Намёк понятен?)

Тождественные преобразования уравнений.

В любых уравнениях для нахождения неизвестного надо преобразовать и упростить исходный пример. Причем так, чтобы при смене внешнего вида суть уравнения не менялась. Такие преобразования называются тождественными или равносильными.

Отмечу, что эти преобразования относятся именно к уравнениям. В математике ещё имеются тождественные преобразования выражений. Это другая тема.

Сейчас мы с вами повторим все-все-все базовые тождественные преобразования уравнений.

Базовые потому, что их можно применять к любым уравнениям – линейным, квадратным, дробным, тригонометрическим, показательным, логарифмическим и т.д. и т.п.

Первое тождественное преобразование: к обеим частям любого уравнения можно прибавить (отнять) любое (но одно и то же!) число или выражение (в том числе и выражение с неизвестным!). Суть уравнения от этого не меняется.

Вы, между прочим, постоянно пользовались этим преобразованием, только думали, что переносите какие-то слагаемые из одной части уравнения в другую со сменой знака. Типа:

Дело знакомое, переносим двойку вправо, и получаем:

На самом деле вы отняли от обеих частей уравнения двойку. Результат получается тот же самый:

х+2 - 2 = 3 - 2

Перенос слагаемых влево-вправо со сменой знака есть просто сокращённый вариант первого тождественного преобразования. И зачем нам такие глубокие познания? – спросите вы. В уравнениях низачем. Переносите, ради бога. Только знак не забывайте менять. А вот в неравенствах привычка к переносу может и в тупик поставить….

Второе тождественное преобразование : обе части уравнения можно умножить (разделить) на одно и то же отличное от нуля число или выражение. Здесь уже появляется понятное ограничение: на ноль умножать глупо, а делить и вовсе нельзя. Это преобразование вы используете, когда решаете что-нибудь крутое, типа

Понятное дело, х = 2. А вот как вы его нашли? Подбором? Или просто озарило? Чтобы не подбирать и не ждать озарения, нужно понять, что вы просто поделили обе части уравнения на 5. При делении левой части (5х) пятёрка сократилась, остался чистый икс. Чего нам и требовалось. А при делении правой части (10) на пять, получилась, знамо дело, двойка.

Вот и всё.

Забавно, но эти два (всего два!) тождественных преобразования лежат в основе решения всех уравнений математики. Во как! Имеет смысл посмотреть на примерах, что и как, правда?)

Примеры тождественных преобразований уравнений. Основные проблемы.

Начнём с первого тождественного преобразования. Перенос влево-вправо.

Пример для младшеньких.)

Допустим, надо решить вот такое уравнение:

3-2х=5-3х

Вспоминаем заклинание: "с иксами - влево, без иксов - вправо!" Это заклинание - инструкция по применению первого тождественного преобразования.) Какое выражение с иксом у нас справа? 3х ? Ответ неверный! Справа у нас - 3х ! Минус три икс! Стало быть, при переносе влево, знак поменяется на плюс. Получится:

3-2х+3х=5

Так, иксы собрали в кучку. Займёмся числами. Слева стоит тройка. С каким знаком? Ответ "с никаким" не принимается!) Перед тройкой, действительно, ничего не нарисовано. А это значит, что перед тройкой стоит плюс. Так уж математики договорились. Ничего не написано, значит, плюс. Следовательно, в правую часть тройка перенесётся с минусом. Получим:

-2х+3х=5-3

Остались сущие пустяки. Слева - привести подобные, справа - посчитать. Сразу получается ответ:

В этом примере хватило одного тождественного преобразования. Второе не понадобилось. Ну и ладно.)

Пример для старшеньких.)

Если Вам нравится этот сайт...

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

1. Решение системы методом подстановки.
2. Решение системы методом почленного сложения (вычитания) уравнений системы.

Для того чтобы решить систему уравнений методом подстановки нужно следовать простому алгоритму:
1. Выражаем. Из любого уравнения выражаем одну переменную.
2. Подставляем. Подставляем в другое уравнение вместо выраженной переменной, полученное значение.
3. Решаем полученное уравнение с одной переменной. Находим решение системы.

Чтобы решить систему методом почленного сложения (вычитания) нужно:
1.Выбрать переменную у которой будем делать одинаковые коэффициенты.
2.Складываем или вычитаем уравнения, в итоге получаем уравнение с одной переменной.
3. Решаем полученное линейное уравнение . Находим решение системы.

Решением системы являются точки пересечения графиков функции.

Рассмотрим подробно на примерах решение систем.

Пример №1:

Решим методом подстановки

2x+5y=1 (1 уравнение)
x-10y=3 (2 уравнение)

1. Выражаем
Видно что во втором уравнении имеется переменная x с коэффициентом 1,отсюда получается что легче всего выразить переменную x из второго уравнения.
x=3+10y

2.После того как выразили подставляем в первое уравнение 3+10y вместо переменной x.
2(3+10y)+5y=1

3.Решаем полученное уравнение с одной переменной.
2(3+10y)+5y=1 (раскрываем скобки)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2

Решением системы уравнения является точки пересечений графиков, следовательно нам нужно найти x и у, потому что точка пересечения состоит их x и y.Найдем x, в первом пункте где мы выражали туда подставляем y.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1

Точки принято записывать на первом месте пишем переменную x, а на втором переменную y.
Ответ: (1; -0,2)

Пример №2:

Решим методом почленного сложения (вычитания).

3x-2y=1 (1 уравнение)
2x-3y=-10 (2 уравнение)

1.Выбираем переменную, допустим, выбираем x. В первом уравнении у переменной x коэффициент 3, во втором 2. Нужно сделать коэффициенты одинаковыми, для этого мы имеем право домножить уравнения или поделить на любое число. Первое уравнение домножаем на 2, а второе на 3 и получим общий коэффициент 6.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2.Из первого уравнения вычтем второе, чтобы избавиться от переменной x.Решаем линейное уравнение.
__6x-4y=2

5y=32 | :5
y=6,4

3.Находим x. Подставляем в любое из уравнений найденный y, допустим в первое уравнение.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6

Точкой пересечения будет x=4,6; y=6,4
Ответ: (4,6; 6,4)

Хочешь готовиться к экзаменам бесплатно? Репетитор онлайн бесплатно . Без шуток.