Основы теории упругости

Лекция 4

Плоская задача теории упругости

Слайд 2

В теории упругости имеется большой класс задач, важных в смысле практических приложений и вместе с тем допускающих значительные упрощения математической стороны решения. Упрощение заключается в том, что в этих задачах одну из координатных осей тела, например ось z, можно отбросить и все явления рассматривать происходящими в одной координатной плоскости х0у нагруженного тела. В этом случае напряжения, деформации и перемещения будут являться функциями двух координат – х и у.

Задача, рассматриваемая в двух координатах, называется плоской задачи теории упругости .

Под термином «плоская задача теории упругости » объединяют две физически разные задачи, приводящие к весьма сходным математическим зависимостям:

1) задачу о плоском деформированном состоянии (плоская деформация);

2) задачу о плоском напряжённом состоянии.

Для этих задач чаще всего характерно значительное отличие одного геометрического размера от двух других размеров рассматриваемых тел: большая длина в первом случае и малая толщина во втором случае.

Плоская деформация

Деформация называется плоской, если перемещения всех точек тела могут происходить только в двух направлениях в одной плоскости и не зависят от координаты, нормальной к этой плоскости, т. е.

u=u(x,y); v=v(x,y); w=0 (4.1)

Плоская деформация возникает в длинных призматических или цилиндрических телах с осью, параллельной оси z, вдоль которой по боковой поверхности действует нагрузка, перпендикулярная этой оси и не меняющаяся по величине вдоль неё.

Примером плоской деформации может служить напряжённо-деформированное состояние, возникающее в длинной прямой плотине и длинном своде подземного тоннеля (рис. 4.1).

Рисунок – 4.1. Плоская деформация возникает в теле плотины и своде подземного тоннеля

Слайд 3

Подставляя компоненты вектора перемещения (4.1) в формулы Коши (2.14), (2.15), получим:

(4.2)

Отсутствие линейных деформаций в направлении оси z ведёт к появлению нормальных напряжений σ z . Из формулы закона Гука (3.2) для деформации ε z следует, что

откуда получается выражение для напряжения σ z:

(4.3)

Подставляя это соотношение в две первые формулы закона Гука, находим:

(4.4)

Слайд 4

Из анализа формул (4.2) − (4.4) и (3.2) также следует, что

Таким образом, основные уравнения трёхмерной теории упругости в случае плоской деформации значительно упрощаются.

Из трёх дифференциальных уравнений равновесия Навье (2.2) остаются только два уравнения:

(4.5)

а третье обращается в тождество.

Так как на боковой поверхности везде направляющий косинус n=cos(v,z)=cos90 0 =0, Z v =0, то из трёх условий на поверхности (2.4) остаются только два уравнения:

(4.6)

где l, m – направляющие косинусы внешней нормали v к поверхности контура;

X, Y, X v , Y v – компоненты объёмных сил и интенсивности внешних поверхностных нагрузок на оси x и у, соответственно.

Слайд 5

Шесть уравнений Коши (2.14), (2.15) сводятся к трём:

(4.7)

Из шести уравнений неразрывности деформаций Сен-Венана (2.17), (2.18) остаётся одно уравнение:

(4.8)

а остальные обращаются в тождества.

Из шести формул закона Гука (3.2), с учётом (4.2), (4.4), остаются три формулы:

В этих соотношениях для традиционного в теории упругости вида записи введены новые упругие постоянные:

Слайд 6

Плоское напряжённое состояние

Плоское напряжённое состояние возникает в том случае, когда длина того же призматического тела мала, по сравнению с двумя другими, размерами. В этом случае она называется толщиной. Напряжения в теле действуют только в двух направлениях в координатной плоскости хОу и не зависят от координаты z . Примером такого тела может служить тонкая пластина толщиной h , нагруженная по боковой поверхности (ребру) силами, параллельными плоскости пластины и равномерно распределёнными по её толщине (рис. 4.2).

Рисунок 4.2 – Тонкая пластинка и приложенные к ней нагрузки

В этом случае также возможны упрощения, аналогичные упрощениям в задаче о плоской деформации. Компоненты тензора напряжений σ z , τ xz , τ yz на обеих плоскостях пластины равны нулю. Так как пластина тонкая, то можно считать, что они равны нулю и внутри пластины. Тогда напряжённое состояние будет определяться только компонентами σ x , σ y , τ xy которые не зависят от координаты z, т. е. не меняются по толщине пластины, а являются функциями только x и y.

Таким образом, в тонкой пластине возникает следующее напряжённое состояние:

Слайд 7

В отношении напряжений плоское напряжённое состояние отличается от плоской деформации условием

Кроме того, из формулы закона Гука (3.2), с учётом (4.10), для линейной деформации ε z получаем, что она не равна нулю:

Следовательно, основания пластины будут искривляться, так как появятся перемещения по оси z.

При этих предположениях основные уравнения плоской деформации: дифференциальные уравнения равновесия (4.5), условия на поверхности (4.6), уравнения Коши (4.7) и уравнения неразрывности деформаций (4.8) сохраняют такой же вид в задаче о плоском напряжённом состоянии.

Формулы закона Гука примут следующий вид:

Формулы (4.11) отличаются от формул (4.9) закона Гука для плоской деформации только значениями упругих постоянных: E и E 1 , v и v 1 .

Слайд 8

В обратной форме закон Гука запишется так:

(4.12)

Таким образом, при решении этих двух задач (плоская деформация и плоское напряжённое состояние) можно пользоваться одними и теми же уравнениями и объединять задачи в одну плоскую задачу теории упругости.

В плоской задаче теории упругости восемь неизвестных:

– две компоненты вектора перемещений u и v;

– три компоненты тензора напряжений σ x , σ y , τ xy ;

– три компоненты тензора деформаций ε x , ε y , γ xy .

Для решения задачи используют восемь уравнений:

– два дифференциальных уравнения равновесия (4.5);

– три уравнения Коши (4.7);

– три формулы закона Гука (4.9), или (4.11).

Кроме того, полученные деформации должны подчиняться уравнению неразрывности деформаций (4.8), а на поверхности тела должны выполняться условия равновесия (4.6) между внутренними напряжениями и интенсивностями внешней поверхностной нагрузки X v , Y v .

Рассмотрим тонкую пластинку под действием сил, лежащих в плоскости пластинки (рис. 2.12). В этой плоскости расположим систему координат (х, у). Торцевые (фасадные) поверхности пластинки свободны от напряжений, и потому

Векторы напряжений и лежат в одной плоскости, и напряженное состояние называется плоским. Отметим, что все точки пластинки находятся в плоском напряженном состоянии. В общем случае понятие «плоское напряженное состояние» относится к рассматриваемой точке элемента конструкции.

Если в данной точке А существует площадка, в которой отсутствуют (нормальное и касательное) напряжения, то напряженное состояние в точке является плоским. Например, в точках свободной поверхности детали (рис. 2.13) напряженное состояние будет плоским (ось z в точке А направлена по нормали к поверхности).

Особая важность плоского напряженного состояния связана с тем, что оно реализуется в точках поверхности элементов конструкции, которые часто являются «опасными точками». (точками с наибольшими напряжениями в поверхностном слое).

Напряжения в косых площадках при плоском напряженном состоянии. Изучим напряжения в косых площадках, перпендикулярных плоскости пластинки (рис. 2.14).

Рис. 2.12. Плоское напряженное состояние

Рис. 2.13. Плоское напряженное состояние в точках свободной поверхности детали

Условный термин «косая» или «наклонная» площадка означает, что нормаль к площадке не совпадает ни с одной из осей выбранной системы координат.

В площадке ВС, нормаль к которой v составляет угол а с осью х, действуют нормальное и касательное напряжения. Напряжения распределены равномерно по толщине пластинки h, торцевые грани элемента ABC не загружены. Ближайшая задача состоит в определении величин из условий равновесия элемента АБС. Проектируя все усилия на направление нормали v, найдем

Массовые силы, действующие на элемент,

составляют усилия второго порядка малости, и в уравнении (15) они отсутствуют. Учитывая, что из рис. 2.14 следует

получим из соотношения (15)

Проектируя все усилия на направление вектора найдем

Формулы (17) и (19) дают значение нормальных и касательных напряжений в косой площадке.

Замечания. 1. Следует строго уяснить, что при выводе уравнений (15) и (18) рассматриваются условия равновесия не напряжений (таких условий не существует!), а действующих усилий по граням элемента.

2. Напряжения по граням элементарного объема (рис. 2.14) распределяются равномерно. Косую площадку можно рассматривать как косое сечение в элементарном параллелепипеде (рис. 2.15), и те же результаты (равенства (17) и (19)) вытекают из условий равновесия заштрихованной частя параллелепипеда.

3. Неизвестные векторные величины, для которых принято определенное правило знаков, при выводе следует принимать положительно направленными. Например, на рис. 2.14 направлено как растягивающее напряжение.

Напряженное и деформированное состояние

Различают три вида напряженного состояния:

1) линейное напряженное состояние - растяжение (сжатие) в одном направлении;

2) плоское напряженное состояние - растяжение (сжатие) по двум направлениям;

3) объемное напряженное состояние - растяжение (сжатие) по трем взаимно перпендикулярным направлениям.

Рассматривают бесконечно малый параллелепипед (кубик). На его гранях могут быть нормальные s и касательные t напряжения. При изменении положения "кубика" напряжения меняются. Можно найти такое положение, при котором нет касательных напряжений см. рис.

https://pandia.ru/text/78/374/images/image002_227.gif" align="left" width="337" height="217 src=">Разрежем элементарный параллелепипед (рис. а) наклонным сечением. Изображаем только одну плоскость. Рассматриваем элементарную треугольную призму (рис. б). Положение наклонной площадки определяется углом a. Если поворот от оси x против час. стр. (см. рис. б), то a>0.

Нормальные напряжения имеют индекс, соответствующий оси их направления. Касательные напряжения, обычно , имеют два индекса: первый соответствует направлению нормали к площадке, второй - направлению самого напряжения (к сожалению, встречаются и другие обозначения, и другой выбор осей координат, что приводит к изменению знаков в некоторых формулах).

Нормальное напряжение положительно, если оно растягивающее, касательное напряжение положительно, если оно стремится повернуть рассматриваемую часть элемента относительно внутренней точки по час. стр (для касательного напряжения в некоторых учебниках и вузах принято обратное).

Напряжения на наклонной площадке:

Закон парности касательных напряжений : если по площадке действует касательное напряжение, то по перпендикулярной к ней площадке будет действовать касательное напряжение, равное по величине и противоположное по знаку. (txz= - tzx)

В теории напряженного состояния различают две основные задачи.

Прямая задача . По известным главным напряжениям: s1= smax, s2= smin требуется определить для площадки, наклоненной под заданным углом (a) к главным площадкам, нормальные и касательные напряжения:

https://pandia.ru/text/78/374/images/image007_125.gif" width="219" height="33">

или .

Для перпендикулярной площадки:

.

Откуда видно, что sa+sb=s1+s2 - сумма нормальных напряжений по двум взаимно перпендикулярным площадкам инварианта (независима) по отношению к наклону этих площадок.

Как и в линейном напряженном состоянии максимальные касательные напряжения имеют место при a=±45о, т. е..gif" align="left" width="240" height="227">.gif" width="154" height="55 src=">.gif" align="left" width="253" height="176 src=">Если одно из главных напряжений окажется отрицательным, то их надо обозначать s1, s3, если оба отрицательны, то s2, s3.

Объемное напряженное состояние

Напряжения в любой площадке при известных главных напряжениях s1, s2, s3:

где a1, a2, a3 - углы между нормалью к рассматриваемой площадке и направлениями главных напряжений.

Наибольшее касательное напряжение: .

Оно действует по площадке параллельной главному напряжению s2 и наклоненной под углом 45о к главным напряжениям s1 и s3.

https://pandia.ru/text/78/374/images/image023_60.gif" width="171" height="48 src=">

https://pandia.ru/text/78/374/images/image025_53.gif" width="115" height="48 src="> (иногда называют главными касательными напряжениями).

Плоское напряженное состояние - частный случай объемного и тоже может быть представлено тремя кругами Мора, при этом одно из главных напряжений должно быть равно 0. Для касательных напряжений также, как и при плоском напряженном состоянии, действует закон парности : составляющие касательных напряжений по взаимно перпендикулярным площадкам, перпендикулярные к линии пересечения этих площадок, равны по величине и обратны по направлению.

https://pandia.ru/text/78/374/images/image027_53.gif" width="166" height="51 src=">;

Октаэдрическое нормальное напряжение равно среднему из трех главных напряжений.

https://pandia.ru/text/78/374/images/image029_49.gif" width="199" height="50">, Октаэдрическое касательное напряжение пропорционально геометрической сумме главных касательных напряжений. Интенсивность напряжений :

DIV_ADBLOCK135">

https://pandia.ru/text/78/374/images/image032_47.gif" width="177" height="49">

Изменение объема не зависит от соотношения между главными напряжениями, а зависит от суммы главных напряжений. Т. е. элементарный кубик получит такое же изменение объема, если к его граням будут приложены одинаковые средние напряжения: , тогда , где К= - модуль объемной деформации . При деформации тела, материал которого имеет коэффициент Пуассона m= 0,5 (например, резина) объем тела не меняется.

Потенциальная энергия деформации

При простом растяжении (сжатии) потенциальная энергия U=https://pandia.ru/text/78/374/images/image038_46.gif" width="95" height="47 src=">.gif" width="234" height="50 src="> или

Полная энергия деформации, накапливаемая в единице объема, может рассматриваться как состоящая из двух частей: 1) энергии uo, накапливаемой за счет изменения объема (т. е. одинакового изменения всех размеров кубика без изменения кубической формы) и 2) энергии uф, связанной с изменением формы кубика (т. е. энергии, расходуемой на превращение кубика в параллелепипед). u = uо + uф.

https://pandia.ru/text/78/374/images/image043_42.gif" width="389" height="50 src=">

https://pandia.ru/text/78/374/images/image045_41.gif" width="160" height="84 src=">. При повороте системы координат коэффициенты тензора меняются, сам тензор остается постоянным.

Три инварианта напряженного состояния:

https://pandia.ru/text/78/374/images/image047_39.gif" width="249" height="48">

ea - относительная деформация, ga - угол сдвига.

Та же аналогия сохраняется и для объемного состояния. Поэтому имеем инварианты деформированного состояния:

J1= ex + ey + ez;

J2= exey +eyez + ezex - https://pandia.ru/text/78/374/images/image051_31.gif" width="17 height=47" height="47">.gif" width="216" height="140 src="> - тензор деформаций .

ex, ey, ez, gxy, gyz, gzx - компоненты деформированного состояния.

Для осей, совпадающих с направлениями главных деформаций e1, e2, e3, тензор деформаций принимает вид: .

Теории прочности

В общем случае опасное напряженное состояние элемента конструкции зависит от соотношения между тремя главными напряжениями (s1,s2,s3). Т. е., строго говоря, для каждого соотношения нужно экспериментально определять величину предельного напряжения, что нереально. Поэтому были приняты такие методы расчета прочности, которые позволяли бы оценить степень опасности любого напряженного состояния по напряжению растяжения – сжатия. Они называются теориями прочности (теории предельных напряженных состояний).

1-ая теория прочности (теория наибольших нормальных напряжений): причиной наступления предельного напряженного состояния являются наибольшие нормальные напряжения. smax= s1£ [s]. Главный недостаток: не учитываются два других главных напряжения. Подтверждается опытом только при растяжении весьма хрупких материалов (стекло, гипс). В настоящее время практически не применяется.

2-ая теория прочности (теория наибольших относительных деформаций): причиной наступления предельного напряженного состояния являются наибольшие удлинения. emax= e1£ [e]..gif" width="63 height=47" height="47">, условие прочности: sэквIII= s1 - s3£ [s]. Основной недостаток – не учитывает влияние s2.

При плоском напряженном состоянии: sэквIII= £ [s]. При sy=0 получаем Широко используется для пластичных материалов.

4-я теория прочности (энергетическая теория): причиной наступления предельного напряженного состояния являются величина удельной потенциальной энергии изменения формы. uф£..gif" width="367" height="55 src=">..gif" width="166" height="57">. Используется при расчетах хрупких материалов, у которых допускаемые напряжения на растяжение и сжатие не одинаковы (чугун).

Для пластичных материалов = теория Мора превращается в 3-ю теорию.

Круг Мора (круг напряжений). Координаты точек круга соответствуют нормальным и касательным напряжениям на различных площадках. Откладываем от оси s из центра С луч под углом 2a (a>0, то против час. стр.), находим точку D,

координаты которой: sa, ta. Можно графически решать как прямую, так и обратную задачи.

Чистый сдвиг

https://pandia.ru/text/78/374/images/image063_27.gif" width="48 height=47" height="47">, где Q - сила, действующая вдоль грани, F - площадь грани. Площадки, по которым действуют только касательные напряжения, называются площадками чистого сдвига. Касательные напряжения на них - наибольшие. Чистый сдвиг можно представить как одновременное сжатие и растяжение, происходящее по двум взаимно перпендикулярным направлениям. Т. е. это частный случай плоского напряженного состояния, при котором главные напряжения: s1= - s3 = t; s2= 0. Главные площадки составляют с площадками чистого сдвига угол 45о.

https://pandia.ru/text/78/374/images/image065_26.gif" width="16" height="48 src="> - относительный сдвиг или угол сдвига .

Закон Гука при сдвиге : g = t/G или t = G×g.

G - модуль сдвига или модуль упругости второго рода [МПа] - постоянная материала, характеризующая способность сопротивляться деформациям при сдвиге. (Е - модуль упругости, m- коэффициент Пуассона).

Потенциальная энергия при сдвиге: .

Удельная потенциальная энергия деформации при сдвиге: https://pandia.ru/text/78/374/images/image069_26.gif" width="63" height="53">.

Вся потенциальная энергия при чистом сдвиге расходуется только на изменение формы, изменение объема при деформации сдвига равно нулю.

Круг Мора при чистом сдвиге.

Кручение

https://pandia.ru/text/78/374/images/image072_23.gif" align="left" width="175" height="125 src=">Такой вид деформации, при котором в поперечных сечениях возникает только одни крутящие моменты - Мк. Знак крутящего момента Мк удобно определять по направлению внешнего момента. Если при взгляде со стороны сечения внешний момент направлен против час. стр., то Мк>0 (встречается и обратное правило). При кручении происходит поворот одного сечения относительно другого на угол закручивания - j. При кручении круглого бруса (вала) возникает напряженное состояние чистого сдвига (нормальные напряжения отсутствуют), возникают только касательные напряжения. Принимается, что сечения плоские до закручивания остаются плоскими и после закручивания - закон плоских сечений . Касательные напряжения в точках сечения изменяются пропорционально расстоянию точек от оси..gif" width="71" height="49 src="> - полярный момент сопротивления круглого сечения. Касательные напряжения в центре равны нулю, чем дальше от центра, тем они больше..gif" width="103" height="57 src="> - относительный угол закручивания ..gif" width="127 height=57" height="57">, [t] =, для пластичного материала за tпред принимается предел текучести при сдвиге tт, для хрупкого материала – tв – предел прочности, [n] – коэффициент запаса прочности. Условие жесткости при кручении: qmax£[q] – допустимый угол закручивания.

Кручение бруса прямоугольного сечения

https://pandia.ru/text/78/374/images/image081_17.gif" width="46" height="46">Эпюры касательных напряжений прямоугольного сечения.

; , Jk и Wk - условно называют моментом инерции и моментом сопротивления при кручении. Wk= ahb2,

Jk= bhb3, Максимальные касательные напряжения tmax будут посредине длинной стороны, напряжения по середине короткой стороны: t= g×tmax, коэффициенты: a, b,g приводятся в справочниках в зависимости от отношения h/b (например, при h/b=2, a=0,246; b=0,229; g=0,795.

Изгиб

https://pandia.ru/text/78/374/images/image085_18.gif" width="270" height="45">.

https://pandia.ru/text/78/374/images/image087_16.gif" width="71" height="53">, r - радиус кривизны нейтрального слоя, y - расстояние от некоторого волокна до нейтрального слоя. Закон Гука при изгибе : , откуда (формула Навье): , Jx - момент инерции сечения относительно главной центральной оси, перпендикулярной плоскости изгибающего момента, EJx - жесткость при изгибе, https://pandia.ru/text/78/374/images/image091_15.gif" width="126" height="54">, Jx/ymax=Wx-момент сопротивления сечения при изгибе, .

https://pandia.ru/text/78/374/images/image094_14.gif" width="103 height=54" height="54">, где Sx(y) - статический момент относительно нейтральной оси той части площади, которая расположена ниже или выше слоя, отстоящего на расстоянии "y" от нейтральной оси; Jx - момент инерции всего поперечного сечения относительно нейтральной оси, b(y) - ширина сечения в слое, на котором определяются касательные напряжения.

https://pandia.ru/text/78/374/images/image096_14.gif" width="89" height="49 src=">, F=b×h, для круглого сечения:, F=p×R2, для сечения любой формы ,

k- коэфф., зависящий от формы сечения (прямоугольник: k= 1,5; круг - k= 1,33).

https://pandia.ru/text/78/374/images/image100_12.gif" align="left" width="244" height="85 src=">Действие отброшенной части заменяется внутренними силовыми факторами М и Q, которые определяются из уравнений равновесия. В некоторых вузах момент М>0 откладывается вниз, т. е. эпюра моментов строится на растянутых волокнах. При Q= 0 имеем экстремум эпюры моментов. Дифференциальные зависимости между М, Q и q : https://pandia.ru/text/78/374/images/image102_10.gif" width="187" height="54">.

Расчет на прочность при изгибе : два условия прочности, относящиеся к различным точкам балки: а) по нормальным напряжениям , (точки наиболее удаленные от С); б) по касательным напряжениям https://pandia.ru/text/78/374/images/image105_10.gif" width="96" height="51">, которые проверяют по б). В сечениях балок могут быть точки, где одновременно большие нормальные и большие касательные напряжения. Для этих точек находятся эквивалентные напряжения, которые не должны превышать допустимых. Условия прочности проверяются по различным теориям прочности

I-я: ; II-я: (при коэфф. Пуассона m=0,3); - применяются редко.

III-я:, IV-я:,

теория Мора: , (используется для чугуна, у которого допускаемое напряжение на растяжение ¹ – на сжатие).

Определение перемещений в балках при изгибе

https://pandia.ru/text/78/374/images/image113_9.gif" width="104" height="52 src=">, где r(х) - радиус кривизны изогнутой оси балки в сечении х, М(х) - изгибающий момент в том же сечении, EJ - жесткость балки. Из высшей математики известно: Дифференциал" href="/text/category/differentcial/" rel="bookmark">дифференциальное уравнение изогнутой оси балки. - тангенс угла между осью х и касательной к изогнутой оси. Эта величина очень мала (прогибы балки малы) Þ ее квадратом пренебрегают и угол поворота сечения приравнивают тангенсу. Приближенное дифференциальное ур-ние изогнутой оси балки : . Если ось y направлена вверх, то знак (+). В некоторых вузах ось y направляется вниз Þ(-). Интегрируя дифф..gif" width="226" height="50 src="> - получаем ур-ние прогибов . Постоянные интегрирования С и D находятся из граничных условий, которые зависят от способов закрепления балки.

а" от начала координат, его умножают на множитель (х - а)0, который равен 1. Любую распределенную нагрузку продлевают до конца балки, а для ее компенсации прикладывают нагрузку обратного направления.

EJ= M(x) = RA×x – https://pandia.ru/text/78/374/images/image122_8.gif" width="79 height=49" height="49"> – P(x – a – b); интегрируем:

EJ = EJq0 + RA× – – M(x – a) + – P;

EJy =EJy0 + EJq0x + RA× – – M + https://pandia.ru/text/78/374/images/image132_8.gif" width="93" height="51 src=">.

Начальные параметры - то, что мы имеем в начале координат, т. е. для рис.: М0=0, Q0=RA, прогиб y0=0, угол поворота q0¹0. q0 находим из подстановки во второе уравнение условия закрепления правой опоры: x=a+b+c; y(x)=0.

Дифференциальные зависимости при изгибе :

; ; https://pandia.ru/text/78/374/images/image136_6.gif" width="56" height="48 src=">.

Определение перемещений способом фиктивной нагрузки . Сопоставляя уравнения:

https://pandia.ru/text/78/374/images/image138_5.gif" align="left" width="203" height="120 src="> и имеем аналогию, Þ определение прогибов можно свести к определению моментов от некоторой фиктивной (условной) нагрузки в фиктивной балке: . Момент от фиктивной нагрузки Мф после деления на EJ равен прогибу "y" в заданной балке от заданной нагрузки. Учитывая, что и , получаем, что угол поворота в заданной балке численно равен фиктивной поперечной силе в фиктивной балке. , . При этом должна быть полная аналогия в граничных условиях двух балок. Каждой заданной балке соответствует своя фиктивная балка.

Закрепление фиктивных балок выбирается из того условия, чтобы на концах балки и на опорах имелось полное соответствие между "y" и "q" в заданной балке и Мф и Qф в фиктивной балке. Если эпюры моментов как в действительной, так и в фиктивной балках строить со стороны растянутого волокна (т. е. положительный момент откладывать вниз), то линии прогибов в заданной балке совпадает с эпюрой моментов в фиктивной балке.

Статически неопределимые балки.

Статически неопределимыми называются системы, реакции в которых не могут быть определены из уравнений равновесия твердого тела. В таких системах больше связей, чем это необходимо для равновесия. Степень статической неопределимости балки (не имеющей промежуточных шарниров – неразрезные балки ) равна избыточному (лишнему) числу внешних связей (более трех).

https://pandia.ru/text/78/374/images/image120_7.gif" width="21" height="25 src=">.gif" width="20" height="25 src=">.gif" width="39" height="51 src="> + С;

EJy = RВ×https://pandia.ru/text/78/374/images/image129_6.gif" width="40" height="49 src="> + С×х + D..gif" width="39" height="49 src=">+ MA=0; находятся RA и MA.

лишнего" закрепления, называется основной системой . За "лишнюю" неизвестную можно взять любую из реакций. Приложив к основной системе заданные нагрузки добавляем условие, которое обеспечивает совпадение заданной балки и основной – уравнение совместности перемещений. Для рис.: yB=0, т. е. прогиб в точке В = 0. Решение этого уравнения возможно разными способами.

Способ сравнения перемещений . Определяется прогиб точки В (рис.) в основной системе под действием заданной нагрузки (q): yВq=лишней" неизвестной RB, и находится прогиб от действия RB: . Подставляем в уравнение совместности перемещений: yB= yВq += 0, т. е. += 0, откуда RB=https://pandia.ru/text/78/374/images/image153_4.gif" align="left" width="371" height="300 src=">Теорема о трех моментах . Используется при расчете неразрезных балок - балок на многих опорах, одна из которых неподвижна, остальные подвижны. Для перехода от статически неопределимой балки к статически определимой основной системе над –лишними опорами вставляются шарниры. Лишними неизвестные: моменты Mn, приложенные к концам пролетов над лишними опорами.

Строятся эпюры моментов для каждого пролета балки от заданной нагрузки, рассматривая каждый пролет, как простую балку на двух опорах. Для каждой промежуточной опоры "n" составляется уравнение трех моментов :

wn, wn+1–площади эпюр, an – расстояние от центра тяжести левой эпюры до левой опоры, bn+1 – расстояние от центра тяжести правой эпюры до правой опоры. Число уравнений моментов равно числу промежуточных опор. Совместное их решение позволяет найти неизвестные опорные моменты. Зная опорные моменты, рассматриваются отдельные пролеты и из уравнений статики находятся неизвестные опорные реакции. Если пролета всего два, то левый и правый моменты известны, т. к. это либо заданные моменты, либо они равны нулю. В результате получаем одно уравнение с одним неизвестным М1.

Общие методы определения перемещений

m" , которое вызвано действием силы обобщенной "n". Полное перемещение, вызванное несколькими силовыми факторами: DР=DРP+DРQ+DРM. Перемещения вызванные единичной силой или единичным моментом: d – удельное перемещение . Если единичная сила Р=1 вызвала перемещение dР, то полное перемещение вызванное силой Р, будет: DР=Р×dР. Если силовые факторы, действующие на систему, обозначить Х1,Х2,Х3 и т. д., то перемещение по направлению каждого из них:

где Х1d11=+D11; Х2d12=+D12; Хidmi=+Dmi. Размерность удельных перемещений: , Дж - джоули размерность работы 1Дж = 1Нм.

Работа внешних сил, дейст-щих на упругую систему: .

https://pandia.ru/text/78/374/images/image160_3.gif" width="307" height="57">,

k – коэффициент, учитывающий неравномерность распределения касательных напряжений по площади поперечного сечения, зависит от формы сечения.

На основании закона сохранения энергии: потенциальная энергия U=A.

D11– перемещение по направл. силы Р1 от действия силы Р1;

D12– перемещение по направл. силы Р1 от действия силы Р2;

D21– перемещение по направл. силы Р2 от действия силы Р1;

D22– перемещение по направл. силы Р2 от действия силы Р2.

А12=Р1×D12 – работа силы Р1 первого состояния на перемещении по ее направлению, вызванном силой Р2 второго состояния. Аналогично: А21=Р2×D21 – работа силы Р2 второго состояния на перемещении по ее направлению, вызванном силой Р1 первого состояния. А12=А21. Такой же результат получается при любом числе сил и моментов. Теорема о взаимности работ: Р1×D12=Р2×D21.

Работа сил первого состояния на перемещениях по их направлениям, вызванных силами второго состояния, равна работе сил второго состояния на перемещениях по их направлениям, вызванных силами первого состояния.

Теорема о взаимности перемещений (теорема Максвелла) Если Р1=1 и Р2=1, то Р1d12=Р2d21, т. е. d12=d21, в общем случае dmn=dnm.

Для двух единичных состояний упругой системы перемещение по направлению первой единичной силы, вызванное второй единичной силой, равно перемещению по направлению второй единичной силы, вызванному первой силой.

https://pandia.ru/text/78/374/images/image163_4.gif" width="104" height="27 src="> от действия единичной силы; 4) найденные выражения подставляют в интеграл Мора и интегрируют по заданным участкам. Если полученное Dmn>0, то перемещение совпадает с выбранным направлением единичной силы, если <0, то противоположно.

Для плоской конструкции:

https://pandia.ru/text/78/374/images/image165_3.gif" width="155" height="58">.

https://pandia.ru/text/78/374/images/image167_4.gif" width="81 height=43" height="43"> для случая, когда эпюра от заданной нагрузки имеет произвольное очертание, а от единичной – прямолинейное удобно определять графо-аналитическим способом, предложенным Верещагиным. , где W – площадь эпюры Мр от внешней нагрузки, yc– ордината эпюры от единичной нагрузки под центром тяжести эпюры Мр. Результат перемножения эпюр равен произведению площади одной из эпюр на ординату другой эпюры, взятой под центром тяжести площади первой эпюры. Ордината должна быть обязательно взята из прямолинейной эпюры. Если обе эпюры прямолинейны, то ординату можно взять из любой.

https://pandia.ru/text/78/374/images/image170_3.gif" width="119" height="50 src=">. Вычисление по этой формуле производится по участкам, на каждом из которых прямолинейная эпюра должна быть без переломов. Сложную эпюру Мр разбивают на простые геометрические фигуры, для которых легче определить координаты центров тяжести. При перемножении двух эпюр, имеющих вид трапеций, удобно использовать формулу: . Эта же формула годится и для треугольных эпюр, если подставить соответствующую ординату = 0.

https://pandia.ru/text/78/374/images/image173_3.gif" width="71" height="48"> (для рис. , т. е. , хС=L/2).

глухой" заделки при равномерно распределенной нагрузке имеем вогнутую квадратичную параболу, для которой ; https://pandia.ru/text/78/374/images/image179_3.gif" width="145" height="51 src=">, хС=3L/4. Тоже можно получить, если эпюру представить разностью площади треугольника и площади выпуклой квадратичной параболы: . "Отсутствующая" площадь считается отрицательной.

Теорема Кастильяно . – перемещение точки приложения обобщенной силы по направлению ее действия равно частной производной от потенциальной энергии по этой силе. Пренебрегая влиянием на перемещение осевых и поперечных сил, имеем потенциальную энергию: , откуда .

Статически неопределимые системы – системы, силовые факторы в элементах которых не могут быть определены только из уравнений равновесия твердого тела. В таких системах число связей больше, чем необходимо для равновесия. Степень статической неопределимости : S = 3n – m, n – число замкнутых контуров в конструкции, m – число одиночных шарниров (шарнир, соединяющий два стержня, считается за один, соединяющий три стержня – за два и т. д.). Метод сил – в качестве неизвестных принимают силовые факторы. Последовательность расчета: 1) устанавливают степень статич. неопределимости; 2) путем удаления лишних связей заменяют исходную систему статически определимой – основной системой (таких систем может быть несколько, но при удалении лишних связей не должна нарушаться геометрическая неизменяемость конструкции); 3) основную систему загружают заданными силами и лишними неизвестными; 4) неизвестные усилия должны быть подобраны так, чтобы деформации исходной и основной систем не отличались. Т. е. реакции отброшенных связей должны иметь такие значения, при которых перемещения по их направлениям = 0. Канонические уравнения метода сил:

Эти уравнения являются дополнительными ур-ями деформаций, которые позволяют раскрыть статич. неопределимость. Число ур-ий = числу отброшенных связей, т. е. степени неопределимости системы.

dik – перемещение по направлению i, вызванное единичной силой действующей по направлению k. dii – главные, dik – побочные перемещения. По теореме о взаимности перемещений: dik=dki. Dip– перемещение по направлению связи i, вызванное действием заданной нагрузки (грузовые члены). Перемещения, входящие в канонические уравнения удобно определять по методу Мора.

Для этого к основной системе прикладывают единичные нагрузки Х1=1, Х2=1, Хn=1, внешнюю нагрузку и строят эпюры изгибающих моментов. По интегралу Мора находят: ; ; ….; ;

; ; ….; ;

; ; ….; .

Черта над М указывает на то, что эти внутренние усилия вызваны действием единичной силы.

Для систем, состоящих из прямолинейных элементов перемножение эпюр удобно производить по способу Верещагина. ; и т. д. WР – площадь эпюры Мр от внешней нагрузки, yСр– ордината эпюры от единичной нагрузки под центром тяжести эпюры Мр, W1 – площадь эпюры М1 от единичной нагрузки. Результат перемножения эпюр равен произведению площади одной из эпюр на ординату другой эпюры, взятой под центром тяжести площади первой эпюры.

Расчет плоских кривых брусьев (стержней)

К кривым брусьям относятся крюки, звенья цепей, арки и т. п. Ограничения: поперечное сечение имеет ось симметрии, ось бруса плоская кривая, нагрузка действует в той же плоскости. Различают брусья малой кривизны: h/R<1/5, большой кривизны: h/R³1/5. При изгибе брусьев малой кривизны нормальные напряжения рассчитывают по формуле Навье, как для балок с прямой осью: https://pandia.ru/text/78/374/images/image198_3.gif" width="115" height="55">,

rН– радиус нейтрального слоя, е=R – rН, R – радиус слоя, в котором расположены центры тяжести сечения. Нейтральная ось кривого бруса не проходит через центр тяжести сечения С. Она всегда расположена ближе к центру кривизны, чем центр тяжести сечения. , r=rН – y. Зная радиус нейтрального слоя можно определить расстояние "е" от нейтрального слоя до центра тяжести. Для прямоугольного сечения высотой h, с наружным радиусом R2 и внутренним R1: ; для разных сечений формулы приведены в справочной лит-ре. При h/R<1/2 независимо от формы сечения можно определять "е" по приближенной формуле: , где Jx – момент инерции сечения относительно оси, проходящей через его центр тяжести перпендикулярно плоскости кривизны бруса.

Нормальные напряжения в сечении распределяются по гиперболическому закону (у наружного края сечения меньше, у внутреннего больше). При действии еще и нормальной силы N: (здесь rН – радиус нейтрального слоя, который был бы при действии только момента М, т. е. при N=0, но в действительности при наличии продольной силы этот слой уже не является нейтральным). Условие прочности: , при этом рассматриваются крайние точки, в которых суммарные напряжения от изгиба и растяжения–сжатия будут наибольшие, т. е. y= – h2 или y= h1. Перемещения удобно определять методом Мора.

Устойчивость сжатых стержней. Продольный изгиб

Разрушение стержня может произойти не только потому, что будет нарушена прочность, но и оттого, что стержень не сохранит заданной формы. Например, изгиб при продольном сжатии тонкой линейки. Потеря устойчивости прямолинейной формы равновесия центрально сжатого стержня называется продольным изгибом . Упругое равновесие устойчиво , если деформированное тело при любом малом отклонении от состояния равновесия стремится вернуться к первоначальному состоянию и возвращается к нему при удалении внешнего воздействия. Нагрузка, превышение которой вызывает потерю устойчивости, называется критической нагрузкой Ркр (критической силой). Допускаема нагрузка [P]=Pкр/nу, nу – нормативный коэффициент запаса устойчивости..gif" width="111" height="51 src=">.gif" width="115 height=54" height="54"> – формула дает значение критической силы для стержня с шарнирно закрепленными концами. При различных закреплениях: , m – коэффициент приведения длины.

При шарнирном закреплении обоих концов стержня m=1; для стержня с заделанными концами m=0,5; для стержня с одним заделанным и другим свободным концом m=2; для стержня с одним заделанным и другим шарнирно закрепленным концом m=0,7.

Критическое сжимающее напр-ние.: , – гибкость стержня, – наименьший главный радиус инерции площади сечения стержня. Эти формулы справедливы только тогда, когда напряжения sкр£sпц– предел пропорциональности, т. е. в пределах применимости закона Гука. Формула Эйлера применима при гибкости стержня: , например, для стали Ст3 (С235) lкр»100. Для случая lформуле Ясинского : sкр= a - b×l, коэффициенты "a" и "b" в справочной лит-ре (Ст3: a=310МПа; b=1,14МПа).

Достаточно короткие стержни, для которых l, Fбрутто– полная площадь сечения,

(Fнетто=Fбрутто-Fослабл –площадь ослабленного сечения с учетом площади отверстий в сечении Fослабл, например, от заклепок). =sкр/nу, nу– нормативный коэф. запаса устойчивости. Допускаемое напряжение выражается через основное допускаемое напряжение [s], используемое при расчетах на прочность: =j×[s], j – коэффициент уменьшения допускаемого напряжения для сжатых стержней (коэффициент продольного изгиба). Значения j приведены в табл. в учебниках и зависят от материала стержня и его гибкости (например, для стали Ст3 при l=120 j=0,45).

При проектировочном расчете требуемой площади сечения на первом шаге принимают j1=0,5–0,6; находят: . Далее зная Fбрутто, подбирают сечение, определяют Jmin, imin и l, устанавливают по табл. фактическое j1I, если оно существенно отличается от j1, расчет повторяется при среднем j2= (j1+j1I)/2. В результате второй попытки находят j2I, сравнивают с предыдущем значением и т. д., пока не достигнуто достаточно близкое совпадение. Обычно требуется 2-3 попытки..

Зависимость между моментами инерции при повороте осей :

https://pandia.ru/text/78/374/images/image249_2.gif" width="17" height="47 src=">(Jx - Jy)sin2a + Jxycos2a ;

Угол a>0, если переход от старой системы координат к новой происходит против час. стр. Jy1 + Jx1= Jy + Jx

Экстремальные (максимальное и минимальное) значения моментов инерции называются главными моментами инерции . Оси, относительно которых осевые моменты инерции имеют экстремальные значения, называются главными осями инерции . Главные оси инерции взаимно перпендикулярны. Центробежные моменты инерции относительно главных осей = 0, т. е. главные оси инерции - оси, относительно которых центробежный момент инерции = 0. Если одна из осей совпадает или обе совпадают с осью симметрии, то они главные. Угол, определяющий положение главных осей: , если a0>0 Þ оси поворачиваются против час. стр. Ось максимума всегда составляет меньший угол с той из осей, относительно которой момент инерции имеет большее значение. Главные оси, проходящие через центр тяжести, называются главными центральными осями инерции . Моменты инерции относительно этих осей:

Jmax + Jmin= Jx + Jy. Центробежный момент инерции относительно главных центральных осей инерции равен 0. Если известны главные моменты инерции, то формулы перехода к повернутым осям:

Jx1=Jmaxcos2a + Jminsin2a; Jy1=Jmaxcos2a + Jminsin2a; Jx1y1=(Jmax - Jmin)sin2a;

Конечной целью вычисления геометрических характеристик сечения является определение главных центральных моментов инерции и положения главных центральных осей инерции. Радиус инерции - https://pandia.ru/text/78/374/images/image254_3.gif" width="85" height="32 src=">. Для сечений, имеющих более двух осей симметрии (например: круг, квадрат, кольцо и др.) осевые моменты инерции относительно всех центральных осей равны между собой, Jxy=0, эллипс инерции обращается в круг инерции.

s - нормальное напряжение [Па], 1Па (паскаль) = 1 Н/м2,

106Па = 1 МПа (мегапаскаль) = 1 Н/мм2

N - продольная (нормальная) сила [Н] (ньютон); F - площадь сечения [м2]

e - относительная деформация [безразмерная величина];

DL - продольная деформация [м] (абсолютное удлинение), L - длина стержня [м].

Закон Гука - s = Е×e

Е - модуль упругости при растяжении (модуль упругости 1-го рода или модуль Юнга) [МПа]. Для стали Е= 2×105МПа = 2×106 кг/см2 (в "старой" системе единиц).

(чем больше Е, тем менее растяжимый материал)

; - закон Гука

EF - жесткость стержня при растяжении (сжатии).

При растяжении стержня он "утоньшается", его ширина - а уменьшается на поперечную деформацию - Dа.

Относительная поперечная деформация.

sп- предел пропорциональности, sт- предел текучести , sВ- предел прочности или временное сопротивление, sк- напряжение в момент разрыва.

Хрупкие материалы, напр., чугун разрушаются при незначительных удлинениях и не имеют площадки текучести, лучше сопротивляются сжатию, чем растяжению.

Допускаемое напряжение https://pandia.ru/text/78/374/images/image276_3.gif" align="left" width="173" height="264">напряжения по наклонной площадке:

Прямая задача…………………………………………………..3

Обратная задача…………………………………………………3

Объемное напряженное состояние……………………………4

Напряжения по октаэдрической площадке…………………..5

Деформации при объемном напряженном состоянии.

Обобщенный закон Гука ………………………………………6

Потенциальная энергия деформации…………………………7

Теории прочности………………………………………………9

Теория прочности Мора ………………………………………10

Круг Мора ………………………………………………………10

Чистый сдвиг……………………………………………………11

Закон Гука при сдвиге…………………………………………12

Кручение………………………………………………………..13

Кручение бруса прямоугольного сечения…………………….14

Изгиб……………………………………………………………15

формулой Журавского…………………………………………16

Расчет на прочность при изгибе………………………………18

Определение перемещений в балках при изгибе……………19

Дифференциальные зависимости при изгибе……………….20

Уравнение совместности перемещений……………………..22

Способ сравнения перемещений……………………………..22

Теорема о трех моментах……………………………………..22

Общие методы определения перемещений………………….24

Теорема о взаимности работ (теорема Бетли)……………….25

Теорема о взаимности перемещений (теорема Максвелла).. 26

Вычисление интеграла Мора способом Верещагина……….27

Теорема Кастильяно…………………………………………..28

Статически неопределимые системы………………………..29

Расчет плоских кривых брусьев (стержней)………………...31

Устойчивость сжатых стержней. Продольный изгиб………33

Геометрические характеристики плоских сечений…………36

Моменты инерции сечения…………………………………..37

Центробежный момент инерции сечения …………………..37

Моменты инерции сечений простой формы………………..38

Моменты инерции относительно параллельных осей……..39

Зависимость между моментами инерции при повороте

осей……………………………………………………………40

Моменты сопротивления…………………………………….42

Растяжение и сжатие…………………………………………43

Основные механические характеристики материалов…….45

Признаком плоского напряженного состояния является: равенство нулю одного из нормальных напряжений и равенство нулю соответствующих ему касательных напряжений . Пусть , тогда касательные напряжения с индексами, содержащими y, тоже равны нулю: .

или в главных напряжениях

Касательные напряжения:

или в главных напряжениях , т.е. касательное напряжение достигает максимума при , т.е. при , т.е.

Или в главных осях

При тензор напряжений имеет вид: или в главных осях

При тензор напряжений имеет вид: или в главных осях

Из тензора видно, что при .

и определяются в этом случае из уравнения:

При этом знак ‘+’ относится к , а знак ‘-‘ к .

Девиатор напряжений в случае плоского напряженного состояния имеет вид:

, т.е. схема тензора напряжений плоская, а девиатора – объемная, и становится плоской только если , т.е. если .

Уравнения равновесия в случае плоской задачи примут вид:

Конец работы -

Эта тема принадлежит разделу:

Теория омд

Введение.. обработка металлов давлением омд базируется на основных положениях механики.. основные способы омд..

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Упругая и пластическая деформация
Деформация – изменение формы и размеров тела в результате действия на него внешних сил. Деформация представляет собой совокупность трех взаимно накладывающихся и по

Дефекты в кристаллах
Дефекты делятся на точечные, линейные и объемные. Точечные дефекты: Вакансия (дырка) – простейший дефект кристаллической решетки, когда вышедший из положен

Дислокации
Дислокация – линейный дефект кристаллической решетки, вдоль которого нарушены связи между соседними атомами и число ближайших соседей каждого атома не соответствует необходимому. Д

Изменение свойств наклепанного металла при нагреве
При нагревании металлов до сравнительно низких температур (~0.3Tпл.) в металлах происходит процесс возврата или отдыха, при котором наклепанный металл частично разупрочняется. В процессе

Величины, характеризующие деформацию тела
О величине деформации судят по изменению размеров деформируемого тела. Существует несколько вариантов характеристики деформации. Пусть размеры тела до деформации L0 – дли

Объем тела при пластической деформации остается постоянным
В случае прямоугольной заготовки закон постоянства объема имеет вид:

Смещенный объем
Смещенный объем – прибавленный или удаленный в процессе деформации объем в направлении одной из осей. Если рассматривать деформацию по высоте, смещенный объем – произведение началь

Общий случай деформации
В общем случае деформация нелинейная, а значит, кроме растяжения или сжатия в металле имеется и углова

Скорость деформации
Скорость деформации – изменение степени деформации в единицу времени. Совокупность всех скоростей деформации описывается тензором скоростей деформации:

Правило наименьшего сопротивления
При ОМД иногда необходимо определить соотношение между перемещениями металла в разных направлениях. Иногда это сделать достаточно просто на основании закона постоянства объема. Например, при плоско

Величины, характеризующие напряженное состояние тела
Если к телу приложены внешние силы и создано препятствие его свободному движению, то тело находится в напряженном состоянии. На тело действуют внешние силы; реакции связей, ограничивающие движение

Главные нормальные и главные касательные напряжения
Через точку тела, находящегося в напряженном состоянии, можно провести бесконечное мно

Октаэдрические напряжения
Наряду с площадками, по которым действуют главные нормальные и главные касательные напряжени

Связь между напряжениями и деформациями
Экспериментально зависимость между деформациями и напряжениями в условиях линейного напряжен

Связь обобщенного напряжения с обобщенной деформацией
Механические свойства большинства металлов и сплавов характеризуются кривыми упрочнения, не имеющими ярко выраженной площадки текучести. Такие кривые аппроксимируются степенной функцией. В самом об

Плоское напряженное и плоское деформированное состояние
При плоском напряженном состоянии напряжение по одной из осей отсутствует. Деформация при этом может происходить по всем трем осям. В других случаях пренебрегают деформацией по одно

Плоское деформированное состояние
Признаком плоского деформированного состояния является отсутствие деформаций по одной из осей, например по оси X:

Понятие сопротивления деформации и пластичности
Сопротивление деформации характеризует податливость обрабатываемого металла

Сверхпластичность
Все предыдущие закономерности относятся к обычным, промышленным условиям. Но при ряде условий наблюдается явление сверхпластичности, т.е. необычайно высокой для данного материала пластичности, хара

Методы оценки пластичности
Для сравнения пластичности образцы металлов подвергают деформации в одинаковых условиях. Доведя деформацию до разрушения (или до первых ее признаков), измеряют полученную остаточную деформацию, кот

Факторы, влияющие на сопротивление деформации
Сопротивление деформации зависит от природы деформированного металла, температуры, степени и скорости деформации и характера напряженного состояния. Опытным путем получают значение сопротивления де

Факторы, влияющие на пластичность металла
Пластичность зависит от природы вещества (его химического состава и структурного строения), температуры, скорости деформации, степени наклепа и от условий напряженного состояния в момент деформации

Условие пластичности для линейного напряженного состояния
Условием пластичности называется условие перехода упругой деформации в пластическую, т.е. оно определяет точку перегиба на диаграмме растяжение-сжатие. В линейном напряженном состоя

Частные случаи условия пластичности
При ОМД встречаются частные виды напряженного и деформированного состояния: плоское напряженное, плоское деформированное и осесимметричное состояние. Ввиду сложности условий пластичности при решени

Влияние механической схемы деформации на усилие деформирования и пластичность
При пользовании уравнением пластичности необходимо учитывать не только абсолютную величину главных напряжений, но и их знак. При одноименной схеме напряженного состояния уравнение пластичности имее

Особенности трения при ОМД
Условия трения играют в расчетах напряженного и деформированного состояния такую же роль, как и физические уравнения равновесия. Отличие лишь в том, что трение действует лишь по поверхности взаимод

Виды трения. Физико-химические особенности трения
Трение обрабатываемого металла и инструмента происходит с участием третьих веществ. К ним относятся окислы обрабатываемого металла и инструмента, продукты истирания взаимодействующих поверхностей и

Механизм сухого трения
Поверхность всякого тела имеет неровности – выступы и впадины при любом качестве отделки. Часть выступов поверхности одного тела попадает во впадины поверхности другого тела, в результате чего прои

Механизм граничного трения
Граничное трение имеет место при использовании смазок. Смазки, содержащие поверхностно-активные вещества, адсорбируются на трущихся поверхностях и образуют прочные пленки. Граничные молекулы таких

Механизм жидкостного трения
Природа жидкостного рения иная, чем сухого и граничного. Жидкостное трение – внутреннее трение в объеме смазки. Оно нашло применение при волочении проволоки. Смазка, экранирующая толстым слоем трущ

Смазка при ОМД
Для того чтобы смазка в достаточной степени изолировала деформируемое тело от инструмента, не разрывалась и не выдавливалась, она должна иметь достаточную активность и вязкость. Ак

Факторы, влияющие на сухое и граничное трение
Сила и напряжение трения зависят от прочностных свойств деформируемого тела и закономерностей изменения их в процессе деформации. Закономерности изменения прочностных свойств приконтактных слоев за

Влияние твердости металла и внешнего давления
Закон сухого трения в деталях машин имеет вид: сила трения Т пропорциональна нормальной нагрузке N и не зависит от площади контакта: T = f*N, где f – коэффициент трения (константа)

Факторы, влияющие на жидкостное трение
При прочих равных условиях сила гидродинамического трения на два порядка меньше трения граничного и сухого. Впрямую состояние поверхностей на силу гидродинамического трения не влияет, и понятия «ко

Трение при различных видах ОМД
1. Трение при прокатке В настоящее время горячую прокатку осуществляют в режиме сухого трения. Холодная прокатка осуществляется с применением смазок. При холодной прокатке листов и полосы

Неравномерность деформации
При равномерной (однородной) деформации напряженное состояние во всех точках тела одинаково, компоненты тензора напряжений и направление главных осей не изменяются при переходе от одной точки тела

Влияние формы инструмента и заготовки на неравномерность деформации
В большинстве процессов ОМД форма заготовки отличается от формы готового изделия, определяемой формой инструмента. Обычно форма заготовки проще формы изделия, что приводит к неодинаковому обжатию о

Влияние внешнего трения на неравномерность деформации
Внешнее трение затрудняет скольжение деформируемого тела по инструменту. Действие его распространяется неодинаково по объему тела, оно наиболее сильно вблизи поверхности контакта и минимально внутр

Влияние неоднородности свойств на неравномерность деформации
Неоднородность свойств может быть макроскопической (неравномерный прогрев, соединение разных металлов в одном слитке) или микроскопической (неоднородность свойств кристаллов). При неравном

Остаточные напряжения
Остаточные (внутренние) напряжения уравновешиваются внутри тела и присутствуют в нем без приложения внешней нагрузки. Внутренние напряжения могут возникнуть в результате фазовых превращений при нер

Методы устранения остаточных напряжений
Основной метод – предотвращение их появления правильным режимом обработки, при котором неравномерность сводится к минимуму, а дополнительные напряжения снимаются в процессе деформации и не приводят

Если все векторы напряжений параллельны одной и той же плоскости, напряженное состояние называется плоским (рис. 1). Иначе: напряженное состояние является плоским, если одно из трех главных напряжений равно нулю.

Рисунок 1.

Плоское напряженное состояние реализуется в пластине, нагруженной по ее контуру силами, равнодействующие которых расположены в ее срединной плоскости (срединная плоскость - плоскость, делящая пополам толщину пластины).

Направления напряжений на рис. 1 приняты за положительные. Угол α положителен, если он откладывается от оси х к оси у. На площадке с нормалью n:

Нормальное напряжение σ n положительно, если оно растягивающее. Положительное напряжение показано на рис. 1. Правило знаков для по формуле (1) то же самое, что для напряжений по формуле (1).

Данное здесь правило знаков относится к наклонным площадкам. В статье «Объёмное напряженное состояние» сформулировано правило знаков для компонентов напряжений в точке, т. е. для напряжений на площадках, перпендикулярных осям координат. Это правило знаков принято в теории упругости.

Главные напряжения на площадках, перпендикулярных плоскости напряжений:

(Поскольку здесь рассматриваются только два главных напряжения, они обозначены через σ 1 и σ 2 , хотя может оказаться, что σ 2 <0, т. е. σ 2 не будет средним из трех главных напряжений). Угол α 1 составляемый нормалью к первой главной площадке с осью х, находится из равенства:

Эти напряжения действуют на площадках, расположенных под углом 45° к первой и второй главным площадкам.

Если главные напряжения σ 1 и σ 2 имеют одинаковый знак, то наибольшее касательное напряжение действует на площадке, расположенной под углом 45° к плоскости напряжений (плоскости ху). В этом случае:

В стенке балки (здесь имеется в виду обычная балка, а не балка-стенка) при ее изгибе силами реализуется частный случай плоского напряженного состояния. В стенках балки одно из нормальных напряжений σ y равно нулю. В этом случае напряжения получатся по формулам (1), (2) и (4), если в этих формулах положить σ y =0. Положение первой главной площадки определяется формулой (3).

РАСТЯЖЕНИЕ ПО ДВУМ НАПРАВЛЕНИЯМ (рис 2).